顾客在某家商店停留的时间为 $T$ 分钟，服从分布 $\mathrm{N}(\mu,9.2)$。去年 $\mu$ 的值为 $12.4$。店长想检验今年 $\mu$ 的值是否下降了。她随机抽取 $75$ 名顾客，发现这些顾客的样本均值 $\overline{T}$ 为 $11.9$。

(a) 在 $5\%$ 的显著性水平下检验 $\mu$ 的值是否小于 $12.4$。

(b) 说明在回答 6(a) 时是否有必要使用中心极限定理。

(c) 后来，店长又随机抽取了一个包含 $n$ 名顾客的大样本。她发现这些顾客的 $\overline{T}=11.8$。她在 $5\%$ 的显著性水平下进行类似的检验，得出的结论是，有证据表明 $\mu$ 的值小于 $12.4$。

求 $n$ 的可能取值范围。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

已知总体正态且方差已知，样本均值也正态。备择假设是均值减小，所以用左尾临界值。

Let $\mu$ be the population mean time spent in the shop. Test

Under $H_0$,

The observed test statistic is

The $5\%$ lower-tail critical value is $-1.645$. Since $-1.428>-1.645$, the statistic is outside the critical region; do not reject $H_0$.

There is insufficient evidence at the $5\%$ significance level that the population mean time spent in the shop has decreased.

总体已经正态，样本均值的正态性是精确结论，不需要靠大样本的中心极限定理。

No. The population distribution of $T$ is normal, so the sample mean of independent observations is normally distributed without using the Central Limit Theorem.

将“有证据表明减小”写成检验统计量落入左尾拒绝域。移项时先处理负号，最后把连续界限转成整数样本量。

Under $H_0$, $\overline T\sim\mathrm N(12.4,9.2/n)$. To reject $H_0$ with $\overline T=11.8$,

The bound on the right is approximately $69.2$.

Since $n$ is an integer, $\boxed{n\ge70}$.