Wamba 蛇的体长为 $X\,\mathrm{cm}$，均值为 $\mu\,\mathrm{cm}$。研究表明，对 Wamba 蛇的整个总体而言，$\mu=41.5$。一名研究人员声称，某个地区的 Wamba 蛇的平均体长小于 $41.5$。她在这个地区随机抽取了 $150$ 条 Wamba 蛇，测量其体长。结果汇总如下。

(a) 求该地区 Wamba 蛇体长 $X$ 的总体均值和方差的无偏估计值，并证明方差的无偏估计值保留 $3$ 位小数为 $64.483$。

(b) 假设 Wamba 蛇的整个总体满足 $\operatorname{Var}(X)=64.483$，在 $2\%$ 的显著性水平下检验研究人员的说法。

(c) 用你对 5(b) 的答案说明研究人员是否有可能犯第一类错误。

后来，研究人员采用相同的假设，从这个地区另随机抽取了 $150$ 条 Wamba 蛇，在 $2\%$ 的显著性水平下进行类似的检验。

(d) 已知这个地区 Wamba 蛇的总体平均体长为 $38.7\,\mathrm{cm}$，求发生第二类错误的概率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

均值用样本均值估计，方差使用无偏公式。先保留分式，最后再四舍五入到题目指定的小数位。

The unbiased estimate of the population mean is

For the variance,

虽然总体分布未说明，但样本量 $150$ 足够大，可对样本均值作正态近似；本问明确要求把给定方差当总体方差使用。

Test

where $\mu$ is the population mean length of Wamba snakes in this region. By the Central Limit Theorem, under $H_0$,

The observed test statistic is

At the $2\%$ significance level, the lower-tail critical value is $\Phi^{-1}(0.02)\approx-2.054$. Since $-1.983>-2.054$, do not reject $H_0$.

There is insufficient evidence at the $2\%$ level that the population mean length of Wamba snakes in this region is less than $41.5\ \text{cm}$.

本问针对(b)这一次已经作出的检验结论。第一类错误必须先拒绝原假设，而(b)没有拒绝。

No. A Type I error means rejecting a true null hypothesis. In (b), $H_0$ was not rejected, so the decision made there cannot be a Type I error.

先在原假设下找拒绝域的样本均值边界；真实均值改变后，拒绝域不变，只改变计算第二类错误概率时使用的分布。

Let $c$ be the critical sample mean. The test uses the same hypotheses, sample size and variance, so

The rejection region is $\overline X<c$. When the true mean is $38.7$, the sample mean is approximately $\mathrm N(38.7,64.483/150)$. A Type II error occurs when $\overline X\ge c$, so