题目

Problem

One batch of a cake mixture contains $X$ litres of ingredient $A$ and $Y$ litres of ingredient $B$ , where $X$ and $Y$ have the independent distributions $X\sim\mathrm{N}(25.5,0.07)$ and $Y\sim\mathrm{N}(26.0,0.08)$ .

(a) Find the probability that, in a randomly chosen batch of the mixture, the number of litres of ingredient $A$ is greater than the number of litres of ingredient $B$ .

(5)

The mass of $1$ litre of ingredient $A$ is $m\,\mathrm{kg}$ and the mass of $1$ litre of ingredient $B$ is $1.5m\,\mathrm{kg}$ , where $m$ is a constant.

(b) Given that the probability that the total mass of a randomly chosen batch of the mixture is less than $70\,\mathrm{kg}$ is $0.3$ , find the value of $m$ .

(5)

题目中文翻译

一批蛋糕混合料含有 $X$ 升原料 $A$ 和 $Y$ 升原料 $B$ ，其中 $X$ 和 $Y$ 相互独立，分别服从分布 $X\sim\mathrm{N}(25.5,0.07)$ 和 $Y\sim\mathrm{N}(26.0,0.08)$ 。

(a) 求在随机选取的一批混合料中，原料 $A$ 的升数大于原料 $B$ 的升数的概率。

(5)

$1$ 升原料 $A$ 的质量为 $m\,\mathrm{kg}$ ， $1$ 升原料 $B$ 的质量为 $1.5m\,\mathrm{kg}$ ，其中 $m$ 是常数。

(b) 已知随机选取的一批混合料总质量小于 $70\,\mathrm{kg}$ 的概率为 $0.3$ ，求 $m$ 的值。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

比较两种原料体积，转成差大于零。独立正态之差的方差仍是两方差之和。

答题过程

展开

Let $L=X-Y$ . Since $X$ and $Y$ are independent normal variables,

\begin{align*} \mathrm E(L)=&\,25.5-26.0=-0.5,\\[4mm] \operatorname{Var}(L)=&\,0.07+0.08=0.15. \end{align*}

Thus $L\sim\mathrm N(-0.5,0.15)$ , giving

\begin{align*} \mathrm P(X>Y) =&\,\mathrm P(L>0)\\[4mm] =&\,1-\Phi\bigg(\frac{0-(-0.5)}{\sqrt{0.15}}\bigg)\\[4mm] =&\,1-\Phi(1.290994\ldots)\\[4mm] \approx&\,\boxed{0.0984}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

总质量是 $mX+1.5mY$ ，方差中的系数要平方。质量参数 $m$ 为正，所以标准差是 $0.5m$ ，再用左尾概率 $0.3$ 反求参数。

答题过程

展开

Let $W=mX+1.5mY$ be the total mass in kilograms, where $m>0$ . Independence gives

\begin{align*} \mathrm E(W)=&\,m(25.5)+1.5m(26.0)=64.5m,\\[4mm] \operatorname{Var}(W) =&\,m^2(0.07)+(1.5m)^2(0.08)\\[4mm] =&\,0.25m^2. \end{align*}

Hence $W\sim\mathrm N(64.5m,0.25m^2)$ and its standard deviation is $0.5m$ . The given probability implies

\begin{align*} \Phi\bigg(\frac{70-64.5m}{0.5m}\bigg)=&\,0.3,\\[4mm] \frac{70-64.5m}{0.5m}=&\,\Phi^{-1}(0.3)\\[4mm] \approx&\,-0.524401,\\[4mm] 70=&\,(64.5-0.2622005)m. \end{align*}

Thus $m\approx1.089701$ , giving $\boxed{m=1.09}$ .

CIE 9709 2026 June Paper 63 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程