已知某品种的植物平均每 $500$ 株中有 $1$ 株患有某种病害。从该品种中随机抽取 $250$ 株植物，用 $X$ 表示其中患病的株数。

(a) 写出 $X$ 的精确分布。

(b) 写出 $X$ 的一个合适的近似分布。

(c) 用你选取的近似分布，求样本中患病植物超过 $2$ 株的概率。

患病植物随机且相互独立地出现。一名科学家每天检查一些植物，用 $Y$ 表示每天发现的患病株数。科学家发现 $Y$ 的均值每天大致相同，均为 $32$。

(d) 用一个合适的近似分布求 $\mathrm{P}(Y<20)$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

固定抽取 $250$ 株，每株是否患病是二项试验，成功概率为 $1/500$。

There are $250$ randomly selected plants, each with disease probability $1/500$. Thus

二项分布中试验次数大、成功概率小，使用参数为 $np$ 的 Poisson 近似。

Since $250$ is large and $1/500$ is small, an appropriate approximation is

“多于两株”是至少三株，使用补事件排除 $0,1,2$ 三项。

Using the Poisson approximation,

随机独立且平均数稳定，对每天患病株数建立 Poisson 模型。参数 $32$ 较大，再用正态近似并进行连续性修正。

Model $Y$ by $\mathrm{Po}(32)$. Since $32>15$, use the normal approximation $N\sim\mathrm N(32,32)$.

With a continuity correction,