题目

Problem

The diagram shows the graph of the probability density function, $f(x)$ , of a random variable $X$ . For $0\le x\le a$ , the graph is a straight line from $O$ to the point $(a,b)$ , where $a$ and $b$ are constants. Elsewhere $f(x)=0$ .

(a) Show that the median of $X$ is $\frac{a}{\sqrt{2}}$ .

(5)

(b) Given that $\mathrm{E}(X)=4$ , find $a$ .

(4)

题目中文翻译

图中给出随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 的图像。当 $0\le x\le a$ 时，图像是从 $O$ 到点 $(a,b)$ 的直线段，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。其余各处 $f(x)=0$ 。

(a) 证明 $X$ 的中位数为 $\frac{a}{\sqrt{2}}$ 。

(5)

(b) 已知 $\mathrm{E}(X)=4$ ，求 $a$ 。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

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先用整幅三角形的面积求出 $ab=2$ ，再由中位数左侧面积为一半求解，并利用 $m>0$ 选择正根。

答题过程

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Since the density has total area $1$ ,

\frac12ab=1\quad\Longrightarrow\quad b=\frac2a.

The straight line through $(0,0)$ and $(a,b)$ is

f(x)=\frac bax=\frac{2x}{a^2}.

This applies for $0\le x\le a$ .

Let $m$ be the median. Then

\begin{align*} \int_0^m\frac{2x}{a^2}\,\mathrm{d}x=&\,\frac12,\\[4mm] \bigg[\frac{x^2}{a^2}\bigg]_0^m=&\,\frac12,\\[4mm] m^2=&\,\frac{a^2}{2}. \end{align*}

Since $a>0$ and $0<m<a$ , take the positive root to obtain

\boxed{m=\frac a{\sqrt2}}.

(b)

解法一

思路

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沿用(a)归一化后的密度，求期望并把它与给定值 $4$ 相等。

答题过程

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Using $f(x)=2x/a^2$ ,

\begin{align*} \mathrm E(X) =&\,\frac2{a^2}\int_0^a x^2\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac2{a^2}\bigg[\frac{x^3}3\bigg]_0^a\\[4mm] =&\,\frac{2a}3. \end{align*}

Since $\mathrm E(X)=4$ , $2a/3=4$ , giving $\boxed{a=6}$ .

CIE 9709 2026 June Paper 65 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程