一家建材商出售不同规格的石块。

(a) $A$ 规格石块质量的标准差为 $6$ 克。随机抽取 $200$ 块 $A$ 规格石块，样本平均质量为 $45$ 克。

求 $A$ 规格石块的总体平均质量的一个 $95\%$ 置信区间。

(b) $B$ 规格石块质量的标准差为 $11$ 克。使用一个容量为 $200$ 的随机样本，求得总体平均质量的一个 $\alpha\%$ 置信区间，其宽度为 $4$ 克。

求 $\alpha$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

已知总体标准差，用样本均值加减1.96倍标准误。

Since the random sample is large, the Central Limit Theorem gives an approximately normal sampling distribution for the sample mean. The 95% confidence interval is

Thus the interval for the population mean mass is

区间半宽为2，用半宽反求z，再求负z至正z的中央概率并乘100。

Let $z$ be the positive critical value. Since the width is 4 g,

Hence

Therefore

giving $\boxed{\alpha=99.0}$ (3 s.f.).