图中给出了随机变量 $X$ 的概率密度函数的图像。$X$ 只在 $-1$ 与 $3$ 之间取值。已知图像关于直线 $x=1$ 对称。在 $x=-1$ 与 $x=3$ 之间，图像为二次曲线。

随机变量 $S$ 满足 $\mathrm{E}(S)=2\times\mathrm{E}(X)$ 和 $\mathrm{Var}(S)=\mathrm{Var}(X)$。

(a) 在下方的网格上，画出 $S$ 的概率密度函数的二次曲线草图。

随机变量 $T$ 满足 $\mathrm{E}(T)=\mathrm{E}(X)$ 和 $\mathrm{Var}(T)=\dfrac14\mathrm{Var}(X)$。

(b) 在下方的网格上，画出 $T$ 的概率密度函数的二次曲线草图。

现已知

(c) 已知 $\mathrm{P}(1-a<X<1+a)=0.5$，证明 $a^3-12a+8=0$。

(d) 由此验证 $0.69<a<0.70$。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

X的均值由对称性为1。把图整体右移1，均值变为2，方差不变，支撑区间变为0至4。

By symmetry, $\mathrm{E}(X)=1$. Take $S=X+1$, so that

The required density is the original quadratic curve shifted one unit to the right. It has zeros at $s=0$ and $s=4$, is symmetric about $s=2$, and has the same maximum height as the original curve.

将变量以均值1为中心压缩为原来一半，标准差减半、方差缩为四分之一；密度高度必须加倍才能保持面积1。

Take $T=1+\frac12(X-1)$. Then

The required quadratic density has zeros at $t=0$ and $t=2$ and is symmetric about $t=1$. Its maximum height is twice that of the original density, giving a vertex at $(1,\frac34)$.

令u等于x减1，把对称中心平移至0，密度化为3/32乘4减u平方，积分后整理。

Put $u=x-1$. Then $3+2x-x^2=4-u^2$. Since the required probability is 0.5, $0<a<2$, and

Hence

Therefore $\boxed{a^3-12a+8=0}$, as required.

代入0.69与0.70显示符号改变，并说明所需范围内函数递减，夹住唯一相关根。

Let $F(a)=a^3-12a+8$. Then

The function is continuous, so it has a root between these values. Also $F'(a)=3a^2-12<0$ for $0<a<2$, so this is the unique relevant root. Hence $\boxed{0.69<a<0.70}$.