某台机器织出的布料上的疵点数服从泊松分布，均值为每 $10\,\mathrm{m}^2$ 有 $2.4$ 个疵点。对该机器作了调整，需要在 $5\%$ 的显著性水平下检验疵点数的均值是否下降。随机选取 $30\,\mathrm{m}^2$ 的布料进行检查，数出其中的疵点数。

(a) 写出适合该检验的原假设和备择假设。

(b) 求发生第一类错误的概率。

在随机选取的这 $30\,\mathrm{m}^2$ 的布料中，恰好发现 $3$ 个疵点。

(c) 在 $5\%$ 的显著性水平下进行检验。

后来，另随机选取 $30\,\mathrm{m}^2$ 的布料，在 $5\%$ 的显著性水平下进行了一次类似的检验。

(d) 已知疵点数实际服从均值为每 $10\,\mathrm{m}^2$ 有 $0.5$ 个疵点的泊松分布，求发生第二类错误的概率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

以每10平方米平均疵点数为参数，备择为减少。

Let $\lambda$ be the population mean number of faults per $10\text{ m}^2$ after the adjustment.

原假设下30平方米参数为7.2。比较相邻左尾概率确定拒绝域，实际第一类错误概率就是该域在原假设下的概率。

Let $F$ be the number of faults in $30\text{ m}^2$. Under $H_0$, $F\sim\mathrm{Po}(7.2)$.

whereas

Thus the rejection region is $F\leq2$, and

3个疵点不在拒绝域，因此不足以认为总体平均疵点数下降。

The observed count of 3 is outside the rejection region $F\leq2$, so $H_0$ is not rejected. There is insufficient evidence at the 5% significance level that the population mean number of faults has decreased.

真实参数每10平方米0.5时，30平方米参数为1.5。第二类错误为至少3个疵点而未拒绝。

When the true rate is 0.5 faults per $10\text{ m}^2$, $F\sim\mathrm{Po}(1.5)$. A Type II error occurs when $F\geq3$, giving