题目

Problem

The diagram shows the graph of the probability density function, $\mathrm{f}$ , of a random variable $X$ which takes values between $-3$ and $2$ only.

(a) Given that the graph is symmetrical about the line $x=-0.5$ and that $\mathrm{P}(X<0)=p$ , find $\mathrm{P}(-1<X<0)$ in terms of $p$ .

(2)

(b) It is now given that the probability density function shown in the diagram is given by

\mathrm{f}(x)=\begin{cases} a-b(x^2+x) & -3\leq x\leq2,\\ 0 & \text{otherwise}, \end{cases}

where $a$ and $b$ are positive constants.

(i) Show that $30a-55b=6$ .

(3)

(ii) By substituting a suitable value of $x$ into $\mathrm{f}(x)$ , find another equation relating $a$ and $b$ and hence determine the values of $a$ and $b$ .

(3)

题目中文翻译

图中给出了随机变量 $X$ 的概率密度函数 $\mathrm{f}$ 的图像。 $X$ 只在 $-3$ 到 $2$ 之间取值。

(a) 已知该图像关于直线 $x=-0.5$ 对称，且 $\mathrm{P}(X<0)=p$ ，用 $p$ 表示 $\mathrm{P}(-1<X<0)$ 。

(2)

(b) 现已知图中所示的概率密度函数为

\mathrm{f}(x)=\begin{cases} a-b(x^2+x) & -3\leq x\leq2,\\ 0 & \text{其他情况，} \end{cases}

其中 $a$ 和 $b$ 为正常数。

(i) 证明 $30a-55b=6$ 。

(3)

(ii) 将一个适当的 $x$ 值代入 $\mathrm{f}(x)$ ，求另一个联系 $a$ 和 $b$ 的方程，并由此确定 $a$ 和 $b$ 的值。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

关于负0.5对称，负1左侧概率等于0右侧概率1减p。目标区间为0左侧概率减去负1左侧概率。

答题过程

展开

By symmetry about $x=-0.5$ ,

\mathrm{P}(X<-1)=\mathrm{P}(X>0)=1-p.

Therefore

\mathrm{P}(-1<X<0)=p-(1-p)=\boxed{2p-1}.

(b)(i)

解法一

思路

展开

对完整支持区间积分归一化，代入上下限并整理成指定关系。

答题过程

展开

Since the total probability is 1,

\int_{-3}^2\bigl(a-b(x^2+x)\bigr)\,\mathrm{d}x=1.

Thus

\begin{align*} &\,\bigg[ax-b\bigg(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\bigg)\bigg]_{-3}^2\\[4mm] =&\,1,\\[4mm] &\,\bigg(2a-\frac{14}{3}b\bigg)-\bigg(-3a+\frac92b\bigg)\\[4mm] =&\,1,\\[4mm] 5a-\frac{55}{6}b=&\,1. \end{align*}

Multiplying by 6 gives $\boxed{30a-55b=6}$ , as required.

(b)(ii)

解法一

思路

展开

图形在端点2与横轴相交，故f(2)为0，给出a等于6b；与归一化关系联立求解。

答题过程

展开

From the graph, $f(2)=0$ , so

a-b(2^2+2)=0 \quad\Longrightarrow\quad a=6b.

Substituting into part (i),

30(6b)-55b=6 \quad\Longrightarrow\quad 125b=6.

Hence

\boxed{b=\frac6{125},\qquad a=\frac{36}{125}}.

CIE 9709 2022 November Paper 62 Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程