题目

Problem

In a survey of $300$ randomly chosen adults in Rickton, $134$ said that they exercised regularly. This information was used to calculate an $\alpha\%$ confidence interval for the proportion of adults in Rickton who exercise regularly. The upper bound of the confidence interval was found to be $0.487$ , correct to $3$ significant figures.

Find the value of $\alpha$ correct to the nearest integer.

(4)

题目中文翻译

在 Rickton 随机抽取 $300$ 名成年人进行调查，其中 $134$ 人表示自己经常锻炼。根据这些信息，计算了 Rickton 经常锻炼的成年人所占比例的 $\alpha\%$ 置信区间。所得置信区间的上限为 $0.487$ ，精确到 $3$ 位有效数字。

求 $\alpha$ 的值，答案精确到最接近的整数。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

题目勘误

官方原题：置信区间上限为 $0.487$ ，精确到 $3$ 位有效数字，要求将 $\alpha$ 取整。

实际上应为：要唯一确定取整后的 $\alpha$ ，需要更精确的上限。按评分标准直接用 $0.487$ 计算得 $84$ 。上限若为 $0.48651$ 或 $0.48749$ ，同样会舍入为 $0.487$ ，但对应的 $\alpha$ 取整分别为 $83$ 和 $85$ 。

本页保留官方英文与忠实翻译。

解答

解法一

思路

展开

用样本比例与比例标准误表达区间上限，解出正态临界值，再换算中央置信概率。

答题过程

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The sample proportion is $\hat p=\frac{134}{300}$ . Using the stated upper bound,

\frac{134}{300} +z\sqrt{\frac{(134/300)(166/300)}{300}} =0.487.

Hence

z=\frac{0.487-134/300} {\sqrt{(134/300)(166/300)/300}} =1.405205\ldots.

Thus

\begin{align*} \alpha=&\,100\bigl(2\Phi(z)-1\bigr)\\[4mm] =&\,84.00395\ldots, \end{align*}

giving $\boxed{\alpha=84}$ to the nearest integer.

CIE 9709 2023 November Paper 61 Q2

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