题目

Problem

(a) A random variable $X$ has the distribution $\mathrm{Po}(25)$ .

Use the normal approximation to the Poisson distribution to find $\mathrm{P}(X>30)$ .

(4)

(b) A random variable $Y$ has the distribution $\mathrm{B}(100,p)$ where $p<0.05$ .

Use the Poisson approximation to the binomial distribution to write down an expression, in terms of $p$ , for $\mathrm{P}(Y<3)$ .

(2)

题目中文翻译

(a) 随机变量 $X$ 服从 $\mathrm{Po}(25)$ 分布。

用正态分布近似泊松分布，求 $\mathrm{P}(X>30)$ 。

(4)

(b) 随机变量 $Y$ 服从 $\mathrm{B}(100,p)$ 分布，其中 $p<0.05$ 。

用泊松分布近似二项分布，写出 $\mathrm{P}(Y<3)$ 关于 $p$ 的表达式。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

正态近似的均值与方差均为25，超过30修正为30.5。

答题过程

展开

Using $X\approx\mathrm{N}(25,25)$ with a continuity correction,

\begin{align*} \mathrm{P}(X>30)\approx&\,1-\Phi\bigg(\frac{30.5-25}{\sqrt{25}}\bigg)\\[4mm] =&\,1-\Phi(1.1)\\[4mm] =&\,\boxed{0.136}\quad\text{(3 s.f.).} \end{align*}

(b)

解法一

思路

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泊松近似参数为100p，小于3包含0、1、2，按参数表达概率和。

答题过程

展开

Using $Y\approx\mathrm{Po}(100p)$ ,

\mathrm{P}(Y<3)\approx\boxed{e^{-100p}\bigg(1+100p+\frac{(100p)^2}{2!}\bigg)}.

CIE 9709 2023 November Paper 62 Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程