题目

Problem

The random variable $X$ has probability density function, $\mathrm{f}$ , given by

\mathrm{f}(x)=\begin{cases} \dfrac1{x^2} & a<x<b,\\ 0 & \text{otherwise}, \end{cases}

where $a$ and $b$ are positive constants.

(a) It is given that $\mathrm{E}(X)=\ln 2$ .

Show that $b=2a$ .

(3)

(b) Show that $a=\dfrac12$ .

(3)

(c) Find the median of $X$ .

(3)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 的概率密度函数 $\mathrm{f}$ 为

\mathrm{f}(x)=\begin{cases} \dfrac1{x^2} & a<x<b,\\ 0 & \text{其他情况，} \end{cases}

其中 $a$ 和 $b$ 为正常数。

(a) 已知 $\mathrm{E}(X)=\ln 2$ 。

证明 $b=2a$ 。

(3)

(b) 证明 $a=\dfrac12$ 。

(3)

(c) 求 $X$ 的中位数。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

期望积分为对数b/a，再用已知对数2推出b等于2a。

答题过程

展开

\begin{align*} \mathrm{E}(X)=&\,\int_a^b x\frac1{x^2}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,[\ln x]_a^b=\ln\frac ba. \end{align*}

Since $\mathrm{E}(X)=\ln2$ and $a,b>0$ ,

\begin{align*} \ln\frac ba=&\,\ln2\\[4mm] \Longrightarrow\quad\frac ba=&\,2\\[4mm] \Longrightarrow\quad b=&\,\boxed{2a}, \end{align*}

as required.

(b)

解法一

思路

展开

密度归一化并代入b等于2a，解出a。

答题过程

展开

\begin{align*} \int_a^{2a}\frac1{x^2}\,\mathrm{d}x=&\,1\\[4mm] \Longrightarrow\quad\bigg[-\frac1x\bigg]_a^{2a}=&\,1. \end{align*}

Thus

\frac1a-\frac1{2a}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac1{2a}=1,

giving $\boxed{a=\frac12}$ , as required. Hence $b=1$ .

(c)

解法一

思路

展开

从支持下限1/2至中位数的概率为一半，积分求解。

答题过程

展开

Let $m$ be the median. Then

\begin{align*} \int_{1/2}^m\frac1{x^2}\,\mathrm{d}x=&\,\frac12\\[4mm] \Longrightarrow\quad\bigg[-\frac1x\bigg]_{1/2}^m=&\,\frac12. \end{align*}

Hence $2-\frac1m=\frac12$ , so $\boxed{m=\frac23}$ .

CIE 9709 2023 November Paper 62 Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程