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CIE 9709 2023 November Paper 63 Q1

A Level / CIE / S2

CIE 9709 2023 Nov Paper 63 Paper · Question 1

题目

Problem

A random variable XX has the distribution N(410,400)\mathrm{N}(410,400).

Find the probability that the mean of a random sample of 3636 values of XX is less than 405405.

(3)
题目中文翻译

随机变量 XX 服从 N(410,400)\mathrm{N}(410,400) 分布。

随机抽取 XX 的 3636 个值作为样本，求样本均值小于 405405 的概率。

(3)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

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总体正态，样本均值亦精确正态，方差为400除以36。

答题过程

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The sample mean has distribution

X‾∼N(410,40036).\overline X\sim\mathrm{N}\bigg(410,\frac{400}{36}\bigg).

Therefore

P(X‾<405)= Φ(405−41020/36)= Φ(−1.5)= 0.0668(3 s.f.).\begin{align*} \mathrm{P}(\overline X<405)=&\,\Phi\bigg(\frac{405-410}{20/\sqrt{36}}\bigg)\\[4mm] =&\,\Phi(-1.5)\\[4mm] =&\,\boxed{0.0668}\quad\text{(3 s.f.).} \end{align*}