一名工厂老板用 $\mathrm{B}(25,p)$ 分布来描述任意一天到工厂食堂用餐的员工人数。过去 $p$ 的值为 $0.8$。食堂推出了新菜单，老板想检验 $p$ 的值是否有所上升。

他随机选取一天，记录到食堂用餐的员工人数为 $23$。

(a) 用二项分布在 $10\%$ 的显著性水平下进行检验。

(b) 已知工厂共有 $30$ 名员工，评价老板所用的模型是否合适。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

检验比例是否增加，取右尾二项概率，包含观测值23本身。

Let $Y$ be the number of employees using the canteen.

Under $H_0$, $Y\sim\mathrm{B}(25,0.8)$. The upper-tail probability for the observed value 23 is

Since $0.0982252\ldots<0.10$, we reject $H_0$. There is sufficient evidence at the 10% significance level that the proportion of employees using the canteen has increased.

模型最多容许25人使用食堂，却有30名员工，因此没有涵盖所有可能人数。

The model is not suitable if all 30 employees could use the canteen: $\mathrm{B}(25,p)$ does not allow more than 25 users on a day.