题目

Problem

A population is normally distributed with mean $35$ and standard deviation $8.1$ . A random sample of size $140$ is chosen from this population and the sample mean is denoted by $\overline{X}$ .

(a) Find $\mathrm{P}(\overline{X}>36)$ .

(3)

(b) It is given that $\mathrm{P}(\overline{X}<a)=0.986$ . Find the value of $a$ .

(3)

题目中文翻译

某总体服从均值为 $35$ 、标准差为 $8.1$ 的正态分布。从这个总体中随机抽取容量为 $140$ 的样本，样本均值记为 $\overline{X}$ 。

(a) 求 $\mathrm{P}(\overline{X}>36)$ 。

(3)

(b) 已知 $\mathrm{P}(\overline{X}<a)=0.986$ 。求 $a$ 的值。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

总体为正态，所以样本均值也为正态，标准差缩小为原来的根号140分之一。

答题过程

展开

The sample mean has the exact distribution

\overline X\sim\mathrm{N}\bigg(35,\frac{8.1^2}{140}\bigg).

Thus

\begin{align*} \mathrm{P}(\overline X>36)=&\,1-\Phi\bigg(\frac{36-35}{8.1/\sqrt{140}}\bigg)\\[4mm] =&\,0.0720406\ldots\\[4mm] =&\,\boxed{0.0720}\quad\text{(3 s.f.).} \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

将累计概率0.986转成正态分位数，再用样本均值的标准差还原a。

答题过程

展开

\begin{align*} \frac{a-35}{8.1/\sqrt{140}}=&\,\Phi^{-1}(0.986)\\[4mm] =&\,2.197286\ldots. \end{align*}

Hence

\begin{align*} a=&\,35+2.197286\ldots\frac{8.1}{\sqrt{140}}\\[4mm] =&\,36.5042\ldots, \end{align*}

so $\boxed{a=36.5}$ (3 s.f.).

CIE 9709 2024 November Paper 62 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程