题目

Problem

The time, $X$ hours, taken by a large number of people to complete a challenge is modelled by the probability density function given by

\mathrm{f}(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x^2} & a\leq x\leq b,\\ 0 & \text{otherwise}, \end{cases}

where $a$ and $b$ are constants.

(a) State what the constants $a$ and $b$ represent in this context.

(1)

(b) Show that $a=\dfrac{b}{b+1}$ .

(3)

It is given that $\mathrm{E}(X)=\ln 3$ .

(c) Show that $b=2$ and find the value of $a$ .

(4)

(d) Find the median of $X$ .

(3)

题目中文翻译

有很多人完成了一项挑战，所用的时间记为 $X$ 小时。用下列概率密度函数描述 $X$ 。

\mathrm{f}(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x^2} & a\leq x\leq b,\\ 0 & \text{其他情况，} \end{cases}

其中 $a$ 和 $b$ 为常数。

(a) 写出常数 $a$ 和 $b$ 在这里各表示什么。

(1)

(b) 证明 $a=\dfrac{b}{b+1}$ 。

(3)

已知 $\mathrm{E}(X)=\ln 3$ 。

(c) 证明 $b=2$ ，并求 $a$ 的值。

(4)

(d) 求 $X$ 的中位数。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

密度的支持区间给出完成挑战所需时间的最小值与最大值，需结合小时这一单位回答。

答题过程

展开

$a$ is the minimum time, in hours, to complete the challenge, and $b$ is the maximum time, in hours.

(b)

解法一

思路

展开

总概率等于1，积分密度后将关系整理为题给形式。

答题过程

展开

\begin{align*} \int_a^b\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x=&\,1,\\[4mm] \bigg[-\frac1x\bigg]_a^b=&\,1. \end{align*}

Hence

\begin{align*} \frac1a-\frac1b=&\,1,\\[4mm] b-a=&\,ab,\\[4mm] b=&\,a(b+1). \end{align*}

Therefore $\boxed{a=\frac{b}{b+1}}$ , as required.

(c)

解法一

思路

展开

用均值积分建立对数b/a等于对数3，再代入上一问关系，从而推导b而非直接代入验证。

答题过程

展开

\begin{align*} \mathrm{E}(X)=&\,\int_a^b x\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,[\ln x]_a^b\\[4mm] =&\,\ln\frac ba. \end{align*}

Since $a=\frac{b}{b+1}$ and $\mathrm{E}(X)=\ln3$ ,

\ln(b+1)=\ln3.

It follows that $b+1=3$ , giving

\boxed{b=2},\qquad \boxed{a=\frac{2}{3}}.

(d)

解法一

思路

展开

从支持区间下限至中位数的概率为一半，积分并解方程。

答题过程

展开

Let $m$ be the median. Then

\int_{2/3}^m\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x=\frac12.

Thus

\begin{align*} \bigg[-\frac1x\bigg]_{2/3}^m=&\,\frac12,\\[4mm] -\frac1m+\frac32=&\,\frac12, \end{align*}

giving $\boxed{m=1\text{ hour}}$ .

CIE 9709 2024 November Paper 62 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程