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CIE 9709 2025 November Paper 62 Q3

A Level / CIE / S2

CIE 9709 2025 Nov Paper 62 Paper · Question 3

题目

Problem

The times, in minutes, taken by students to complete a test have mean μ\mu and standard deviation σ\sigma. The times taken by a random sample of 100100 students are noted and are used to calculate a 95%95\% confidence interval for μ\mu.

(a) Given that the end points of the 95%95\% confidence interval are 31.0231.02 and 33.9833.98, correct to 44 significant figures, calculate the value of σ\sigma.

(3)

(b) The calculation of the confidence interval required the use of the Central Limit theorem.

Explain why it is valid to use the Central Limit theorem in this case.

(1)

(c) A researcher calculates a number, rr, of 95%95\% confidence interval for μ\mu.

Find the largest value of rr such that the probability that all rr confidence intervals contain the true value of μ\mu is greater than 0.50.5.

(4)
题目中文翻译

学生完成一项测试所需的时间以分钟为单位，均值为 μ\mu，标准差为 σ\sigma。记录随机抽取的 100100 名学生所用的时间，并据此计算 μ\mu 的一个 95%95\% 置信区间。

(a) 已知这个 95%95\% 置信区间的两个端点保留 44 位有效数字后分别为 31.0231.02 和 33.9833.98，计算 σ\sigma 的值。

(3)

(b) 计算置信区间时需要用到中心极限定理。

解释为什么在这种情况下可以使用中心极限定理。

(1)

(c) 一名研究人员计算了 μ\mu 的 rr 个 95%95\% 置信区间。

求使全部 rr 个置信区间都包含 μ\mu 的真实值的概率大于 0.50.5 的 rr 的最大值。

(4)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

题目勘误

官方原题：(c)只说明计算 rr 个 95%95\% 置信区间，未说明这些区间的覆盖事件相互独立。

实际上应为：各区间的置信水平不能单独决定所有区间同时覆盖真实均值的概率。额外假设覆盖事件独立时，才可使用 0.95r0.95^r，并得到评分标准的最大值 r=13r=13；原条件不足以唯一确定该最大值。

本页保留官方英文与忠实翻译，未自行补入独立条件。

解答

(a)

解法一

思路

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置信区间端点的平均值给出样本均值，一半宽度给出误差界。把误差界与 1.96σ/n1.96\sigma/\sqrt n 对应。

答题过程

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The sample mean and margin of error are

x‾= 31.02+33.982=32.5,h= 33.98−31.022=1.48.\begin{align*} \overline x=&\,\frac{31.02+33.98}{2}=32.5,\\[4mm] h=&\,\frac{33.98-31.02}{2}=1.48. \end{align*}

For a 95%95\% interval based on 100100 observations,

1.96σ100=1.48.1.96\frac\sigma{\sqrt{100}}=1.48.

Hence

σ=1.48(10)1.96≈7.55 minutes.\boxed{\sigma=\frac{1.48(10)}{1.96}\approx7.55\text{ minutes}}.

(b)

解法一

思路

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中心极限定理的适用理由是随机样本量足够大；并不要求单个学生完成时间本身正态。

答题过程

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The random sample is large: n=100\boxed{n=100}. The Central Limit Theorem therefore justifies using a normal approximation for the distribution of the sample mean.