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CIE 9709 2025 November Paper 62 Q5

A Level / CIE / S2

CIE 9709 2025 Nov Paper 62 Paper · Question 5

题目

Problem

A random variable XX has probability density function given by

f(x)={k(2x2−x3)0≤x≤2,0otherwise.f(x)= \begin{cases} k(2x^2-x^3) & 0\le x\le 2,\\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}

(a) Show that k=34k=\frac34.

(3)

The median of XX is denoted by mm.

(b) (i) Write down the value of P(X≤m)\mathrm{P}(X\le m).

(1)

(ii) Hence find P(E(X)≤X≤m)\mathrm{P}(\mathrm{E}(X)\le X\le m).

(5)
题目中文翻译

随机变量 XX 的概率密度函数为

f(x)={k(2x2−x3)0≤x≤2,0其他情况.f(x)= \begin{cases} k(2x^2-x^3) & 0\le x\le 2,\\ 0 & \text{其他情况}. \end{cases}

(a) 证明 k=34k=\frac34。

(3)

用 mm 表示 XX 的中位数。

(b) (i) 写出 P(X≤m)\mathrm{P}(X\le m) 的值。

(1)

(ii) 据此求 P(E(X)≤X≤m)\mathrm{P}(\mathrm{E}(X)\le X\le m)。

(5)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

归一化密度总积分为一，先展开积分并完整代入上限，推出给定的常数。

答题过程

展开

The total probability is 11, so

k∫02(2x2−x3) dx= 1,k[2x33−x44]02= 1,k(163−4)= 1,4k3= 1.\begin{align*} k\int_0^2(2x^2-x^3)\,\mathrm{d}x=&\,1,\\[4mm] k\bigg[\frac{2x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\bigg]_0^2=&\,1,\\[4mm] k\bigg(\frac{16}{3}-4\bigg)=&\,1,\\[4mm] \frac{4k}{3}=&\,1. \end{align*}

Hence k=34\boxed{k=\frac34}.

(b)(i)

解法一

思路

展开

连续分布的中位数将总概率一分为二。

答题过程

展开

By the definition of the median for this continuous distribution,

P(X≤m)=12.\boxed{\mathrm P(X\le m)=\frac12}.

(b)(ii)

解法一

思路

展开

先求期望，再求期望左侧的概率。该概率小于一半，就能确认期望在中位数左边；最后使用(i)的结果相减。

答题过程

展开

Using k=3/4k=3/4,

E(X)= 34∫02(2x3−x4) dx= 34[x42−x55]02= 34(8−325)=65.\begin{align*} \mathrm E(X) =&\,\frac34\int_0^2(2x^3-x^4)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac34\bigg[\frac{x^4}{2}-\frac{x^5}{5}\bigg]_0^2\\[4mm] =&\,\frac34\bigg(8-\frac{32}{5}\bigg)=\frac65. \end{align*}

Then

P(X≤65)= 34[2x33−x44]06/5= 34(144125−324625)= 297625=0.4752.\begin{align*} \mathrm P\bigg(X\le\frac65\bigg) =&\,\frac34\bigg[\frac{2x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\bigg]_0^{6/5}\\[4mm] =&\,\frac34\bigg(\frac{144}{125}-\frac{324}{625}\bigg)\\[4mm] =&\,\frac{297}{625}=0.4752. \end{align*}

This is less than 1/21/2, so E(X)<m\mathrm E(X)<m. Using part (i) and continuity,

P(E(X)≤X≤m)= 12−297625= 311250=0.0248.\begin{align*} \mathrm P(\mathrm E(X)\le X\le m) =&\,\frac12-\frac{297}{625}\\[4mm] =&\,\frac{31}{1250}=\boxed{0.0248}. \end{align*}