一个项目由图 5 所示的活动网络建模。活动用弧表示。每条弧上括号中的数字表示完成相应活动所需的时间（单位：小时）。圆圈中的数字是事件编号。

(a) 解释虚活动的意义

(i) 从事件 2 到事件 3

(ii) 从事件 6 到事件 7

(b) 完成答案册中的 Diagram 1，显示最早事件时间和最晚事件时间。

(c) 说明最短项目完成时间并列出关键活动。

活动 H 的持续时间变为 x 小时。

(d) 用 x 表示（必要时），求

(i) 事件 7 可能的新最早事件时间

(ii) 事件 7 可能的新最晚事件时间

已知活动 H 的持续时间使得最短项目完成时间比 (c) 中找到的时间长四小时，

(e) 求 x 的值。

F、G 都从事件 3 开始，因此它们必须等待 A、B 完成；但 D、E 从事件 2 开始，只依赖 A。虚活动把 A 的完成状态传至事件 3，而不会错误地使 D、E 依赖 B。

The dummy from event 2 to event 3 ensures that activities $F$ and $G$ depend on both $A$ and $B$, while activities $D$ and $E$ depend on $A$ only.

J、K 都从事件 4 开始。如果 K 也直接结束于事件 7，J 与 K 就会具有相同的开始和结束事件，无法由事件编号唯一识别。让 K 先结束于事件 6，再以虚活动连至事件 7，可保持两项活动不同。

The dummy from event 6 to event 7 distinguishes activities $J$ and $K$. Without it, both activities would have the same start and finish events.

正向扫描时，每个事件取所有进入活动的“前一事件最早时间加活动工期”之最大值；反向扫描时，从项目结束事件开始，每个事件取所有离开活动的“后一事件最晚时间减活动工期”之最小值。虚活动工期取 0。

The completed event times are:

For example, the early event time at event 7 is

and its late event time is

结束事件 9 的最早时间就是最短项目完成时间。关键路线经过最早时间与最晚时间相等的事件 $1,2,5,8,9$，对应活动 A、D、I、M。

The minimum project completion time is

The critical activities are

只有从事件 5 经 H 到事件 7 的进入时间会改变，为 $9+x$。其他进入路线中最大的时间仍为 12，因此事件 7 的新最早时间取 $12$ 与 $9+x$ 中较大者。

The two possible controlling values are $12$ and $9+x$. Hence the new early event time at event 7 is

若原来的项目完成时间仍由 A-D-I-M 控制，事件 7 的最晚时间仍为 15；若含 H 的路线成为控制路线，项目完成时间随 $x$ 增加，反向计算会使事件 7 的最晚时间变为 $9+x$。

The possible new late event times at event 7 are

新的完成时间为 $26+4=30$。受 H 影响并延伸至终点的最长路线在 H 前用时 9 小时，在 H 后经 L、M 还需 $5+6=11$ 小时，所以总时间为 $20+x$。

The new minimum completion time is

The route controlled by $H$ has duration

Therefore

giving