图 4 中的图正用于解 $x$ 和 $y$ 的线性规划问题。三个约束已画在图上，被拒绝的区域已阴影标出。可行域 $R$ 的三个顶点标记为 $A$、$B$ 和 $C$。

(a) 确定定义 $R$ 的不等式。

目标函数 $P$ 由 $P = ax + by$ 给出

其中 $a$ 和 $b$ 是正常数。

$P$ 的最小值为 8，$P$ 的最大值出现在 $C$ 处。

(b) 找到 $a$ 的可能取值范围。必须清楚说明方法。

逐条观察可行域 $R$ 位于边界线的哪一侧。图中被阴影排除的方向与 $R$ 相反，因此分别选取 $R$ 内一点代入三条边界式，即可确定不等号方向。

From the position of the feasible region relative to each boundary line,

and

先用最小值 8 所在的顶点 $A=(0,2)$ 求出 $b$。最大值只需比较东北侧相邻顶点 $B,C$：先联立两条边界求出 $B$，再要求 $P(C)>P(B)$。由于 $a,b$ 都为正，$C$ 的目标值自动大于 $A$，无需另加限制。

The minimum occurs at $A=(0,2)$ and has value $8$. Therefore

so

Vertex $B$ is the intersection of

and

Substituting $4y=7x+8$ into the second equation gives

so

and hence

Thus

while $C=(4,3)$. Using $b=4$,

and

For the maximum to occur at $C$ rather than $B$,

Multiplying by $5$ and simplifying,

so

Therefore

官方替代路线使用目标线斜率。先同样由顶点 $A$ 求出 $b=4$。要使目标函数沿可行域的上边界移动到 $C$ 时继续增大，目标线必须比边 $BC$ 更陡；比较两条直线的斜率即可得到 $a$ 的范围。

As above, the minimum value at $A=(0,2)$ gives

The boundary through $B$ and $C$ is

or

so its gradient is $-\frac34$.

An objective line has equation

or

and therefore has gradient $-\frac{a}{4}$.

For the maximum to occur at $C$ rather than anywhere along $BC$, the objective line must have the steeper negative gradient:

Multiplying by $-4$ reverses the inequality, giving