上表显示了完成建筑项目所需的活动。对于每项活动，表显示了持续时间（单位：天）和紧前活动。每项活动需要一名工人。项目应在最短时间内完成。

图 2 显示了用于模拟项目的部分完成的活动网络。活动由弧表示，弧上括号内的数字是完成每项活动所需的时间（单位：天）。

(a) 通过添加活动 G、H、I 和最少数量的虚活动，完成答案本中图 1 的网络。

(b) 将最早事件时间和最迟事件时间添加到答案本中图 1。

(c) 写出关键活动。

(d) 计算在最短时间内完成项目所需的工人数量的下界。必须展示计算过程。

(e) 在答案本的网格 1 上安排活动，使用最少数量的工人，使项目在最短时间内完成。

$G,H,I$ 都要等待 $B,C,E$，因此需要先让这三项紧前活动汇合。已有图中 $B,E$ 在同一事件结束，所以用一个虚活动把 $C$ 的完成也接入该事件，再从此事件画出 $G,H,I$。此外，$L,M$ 同时以 $F,G,K$ 为紧前活动，因此还需第二个虚活动把 $F,G$ 的完成事件接到 $K$ 的完成事件。

Add a dummy activity from the end of $C$ to the event at which $B$ and $E$ finish. Activities $G$, $H$ and $I$ then begin from this common event, each with its stated duration.

Add a second dummy activity from the event at which $F$ and $G$ finish to the event at which $K$ finishes. This ensures that both $L$ and $M$ have $F$, $G$ and $K$ as their immediate predecessors.

The completed network, together with the event times used in part (b), is:

先从起点 0 做 forward pass，在汇合事件取最大值；项目最早完成时间为 28。再从终点 28 做 backward pass，在分支事件取最小值。虚活动工期为 0，但其先后约束必须参与计算。

Using a forward pass and then a backward pass gives:

Therefore the minimum project completion time is

关键活动的总浮时为 0。根据 (b) 的最早、最迟事件时间，沿零浮时路线从起点追踪到终点即可得到所有关键活动。

The zero-float route is

Hence the critical activities are

每项活动需要一名工人，所以先把所有活动工期相加，得到总工作量，再除以必须完成项目的 28 天。工人数必须是整数，因此最后向上取整。

The total amount of work is

Therefore a lower bound for the number of workers is

and hence the lower bound is

将关键活动 $A,E,K,M,P$ 固定在第一名工人上，再把其余活动分配给另外三名工人。每项活动的开始时间既不能早于所有紧前活动完成的时间，也不能与同一工人的其他活动重叠。下面的排程使用恰好 4 名工人，并在第 28 天完成，因此达到 (d) 的下界。

One valid schedule is:

Every activity starts after all its immediate predecessors have finished, and no worker is assigned overlapping activities. The project finishes at time $28$ using four workers.

The corresponding schedule is: