图 3 显示了 $x$ 和 $y$ 的线性规划问题的约束条件，其中 $R$ 是可行域。图 3 中已显示了两条直线的方程。

已知 $k$ 是正常数，

(a) 确定定义 $R$ 的不等式，必要时用 $k$ 表示。

目标是最大化 $P = 5x + ky$。

已知 $P$ 在 $R$ 的最优顶点处的值为 38，

(b) 确定 $k$ 的可能值。必须展示代数计算并清楚说明方法。

逐条观察可行域 $R$ 位于边界线的哪一侧。第三条边界经过 $(0,8)$ 与 $(4,0)$，先由这两个截距求出直线方程，再根据阴影区域选择不等号方向。

The region $R$ lies below the line $x+y=8$, so

It lies above the line $5y=x+k$, so

The remaining boundary passes through $(0,8)$ and $(4,0)$. Its equation is

Since $R$ lies above this line,

or equivalently,

Therefore the inequalities defining $R$ are

因为目标函数的两个系数都是正数，最大值只可能出现在可行域东北侧边界 $x+y=8$ 的两个端点：$(0,8)$，或 $x+y=8$ 与 $5y=x+k$ 的交点。分别令这些候选顶点的目标值为 38，再检查它是否真的优于另一候选顶点。

At the vertex $(0,8)$,

If this vertex gives $P=38$, then

and hence

The other possible optimal vertex is the intersection of

and

Using $y=8-x$ gives

so the coordinates of this vertex are

Setting the objective value at this vertex equal to $38$ gives

Multiplying by $6$ and simplifying,

so

Therefore

Since $k$ is positive,

It remains to check which candidate really gives a maximum value of $38$.

If $k=4$, the intersection vertex is $(6,2)$ and

whereas

Thus $k=4$ is valid.

If $k=\frac{19}{4}$, the other vertex is

at which

Therefore $(0,8)$ is not optimal when $k=\frac{19}{4}$, so this value must be rejected.

Hence the only possible value is