题目

Problem

An algorithm for finding the positive real root of the equation $8x^4 + 5x - 12 = 0$ is described by the flow chart shown in Figure 2.

(a) Use the flow chart, with $a = 1$ , to complete the table in the answer book, stating values to at least 6 decimal places. Give the final output correct to 5 decimal places.

(4)

Given that the value of the input $a$ is a non-negative real number,

(b) determine the set of values for $a$ that cannot be used to find the positive real root of $8x^4 + 5x - 12 = 0$ using this flow chart.

(2)

题目中文翻译

一个用于找到方程 $8x^4 + 5x - 12 = 0$ 正实根的算法由图 2 中的流程图描述。

(a) 使用流程图，取 $a = 1$ ，完成答案本中的表格，数值至少精确到 6 位小数。最终输出精确到 5 位小数。

已知输入 $a$ 的值是非负实数，

(b) 确定不能使用此流程图找到 $8x^4 + 5x - 12 = 0$ 正实根的 $a$ 值集合。

解答

(a)

解法一

思路

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每轮先用当前的 $a$ 计算 $b$ ，再检查 $a-b$ 是否落在 $(-10^{-5},10^{-5})$ 。若否，就令新的 $a=b$ 并继续；若是，则输出当前的 $b$ 。中间值保留至少 6 位小数，避免过早舍入影响停止条件。

答题过程

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Using

b=\left(\frac{12-5a}{8}\right)^{\frac14},

the iterations are:

$a$	$b$	Is $-10^{-5}<a-b<10^{-5}$ ?
$1.00000000$	$0.96716821$	No
$0.96716821$	$0.97278934$	No
$0.97278934$	$0.97183385$	No
$0.97183385$	$0.97199647$	No
$0.97199647$	$0.97196880$	No
$0.97196880$	$0.97197350$	Yes

Therefore the final output, correct to 5 decimal places, is

\boxed{0.97197}.

(b)

解法一

思路

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流程图每轮都要计算一个四次方根。要在实数范围内继续，根号内必须非负；等于 0 时仍可计算，所以不能使用的范围必须是严格不等式。

答题过程

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For $b$ to be real, it is necessary that

\frac{12-5a}{8}\geq0.

Thus the flow chart cannot be used when

12-5a<0,

which gives

\boxed{a>\frac{12}{5}}.

Equivalently, the unusable set is

\boxed{a\in(2.4,\infty)}.

IAL 2021 June D1 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程