(a) 使用弧表示活动和最少数量的虚活动，画出上面优先级表中描述的项目的活动网络。

(b) 写出保证是关键活动的活动，并给出理由。

已知表中每项活动需要两小时完成。

(c) 写出最小完成时间并写出项目的关键路径。

先从起点画出没有紧前活动的 $A,B,C$。为了让 $F$ 同时等待 $A,B,C$，需要用两个虚活动把三条先后关系汇合，同时保留 $D,E$ 只等待 $A$、$G$ 只等待 $C$ 的关系。

$D,E,F,H$ 必须在 $I$ 开始前汇合。$D$ 与 $E$ 都在 $A$ 后开始，但两项活动不能用同起点、同终点的两条弧表示，因此让 $D$ 先到一个独立事件，再用第三个虚活动接入 $I$ 前的汇合点。最后，$J,K,M$ 都要通向唯一终点；为区分同在 $I$ 后开始的 $J$ 与 $K$，让 $J$ 先到一个独立事件，再用第四个虚活动接入共同终点。因此最少共需四个虚活动。

等价画法可以交换 $D,E$ 或交换 $J,K$，也可以把用于区分 $D,E$ 的虚活动放在 $D$ 之前，把用于区分 $J,K$ 的虚活动放在 $J$ 之前，或同时作这些调整。末端虚活动也可反向连接，并把另一端作为唯一终点，使所有末端活动仍汇入同一终点。这些安排均须保留原优先关系，不能让原本可同时开始的活动互相等待。

Draw $A$, $B$ and $C$ from the unique start event. Use dummy activities to merge the ends of $A$, $B$ and $C$ before $F$ begins.

Activities $D$ and $E$ begin after $A$, while $G$ begins after $C$ and $H$ begins after $G$. The ends of $D$, $E$, $F$ and $H$ are then merged before $I$ begins.

To distinguish $D$ and $E$, let $D$ end at a separate event and use a third dummy to join that event to the merge event before $I$.

After $I$, activities $J$, $K$ and $L$ begin. Activity $M$ follows $L$, and the ends of $J$, $K$ and $M$ are joined at one finish event.

To distinguish $J$ and $K$, let $J$ end at a separate event and use a fourth dummy to join it to the common finish event.

The completed activity-on-arc network, using the minimum of four dummy activities, is:

判断“保证关键”不能只看某一条最长路线，而要寻找所有从起点到终点的路径都必经的活动。网络在 $I$ 前汇合、在 $I$ 后分支，所以任何完整路径都必须经过 $I$。

Activity $I$ is guaranteed to be critical because every path from the source event to the sink event contains $I$.

Therefore the required activity is

每项活动都用 2 小时，因此只需找包含活动数最多的起点到终点路径。经过 $C,G,H$ 到达 $I$ 的路线最长；在 $I$ 后，经过 $L,M$ 的分支最长，所以关键活动依次是 $C$、$G$、$H$、$I$、$L$、$M$。

The longest path through the network is

It contains six activities, each of duration $2$ hours. Hence the minimum completion time is

The critical path is therefore