一家公司生产三种类型的储存容器：小型、中型和大型。

公司所有者知道每周应该生产

• 总共至少 40 个容器
• 大型容器至少是中型容器的两倍
• 小型容器最多 60%

每个小型容器需要 1 小时制作，每个中型容器需要 1.5 小时，每个大型容器需要 2.5 小时。公司每周总共有 75 小时可用于制作所有容器。

每个小型容器成本为 £9，每个中型容器成本为 £12，每个大型容器成本为 £16。

公司所有者希望最小化总成本。

设 $x$ 表示制作的小型容器数量，$y$ 表示制作的中型容器数量，$z$ 表示制作的大型容器数量。

(a) 将此信息表述为线性规划问题。说明目标并列出简化为整数系数不等式的约束条件。

公司所有者现在决定恰好制作 45 个容器。

(b) 解释为什么最小化总成本等价于最大化 $7x + 4y$。

恰好制作 45 个容器的要求将问题的约束条件简化为以下内容：

$x + 3y \leq 45$ $0 \leq x \leq 27$ $3x + 2y \geq 75$ $y \geq 0$

(c) 在答案本的图 1 上表示这些约束条件。由此确定并标注可行域 $R$。

(d) 使用目标线法找到可行域的最优顶点 $V$。必须清楚标出目标线并标注 $V$。

(e) 写出公司应该制作的每种容器的数量。计算相应的总成本。

把“希望总成本最低”写成目标函数，再逐句翻译四类限制：总产量下限、大型与中型的数量关系、小型所占比例上限，以及总工时上限。题目要求约束具有整数系数，因此含 $60\%$、$1.5$ 和 $2.5$ 的式子还要化简。

Minimise

subject to

and, since at most $60\%$ of the containers are small,

This simplifies to

The time constraint is

or, using integer coefficients,

Also,

恰好生产 45 个容器给出 $x+y+z=45$，所以可用 $z=45-x-y$ 消去 $z$。代入成本函数后，常数项不影响最优点；最小化所得负表达式，等价于最大化对应的正表达式。

Since exactly 45 containers are made,

Substituting this into the cost function gives

Since 720 is constant, minimising $P$ is equivalent to making the quantity subtracted from 720 as large as possible. Therefore the minimum total cost is achieved when

先画两条斜边界 $x+3y=45$ 与 $3x+2y=75$，再画竖直边界 $x=27$ 和坐标轴。根据不等号选择 $x+3y=45$ 的下方、$3x+2y=75$ 的上方、$x=27$ 的左方以及第一象限；这些半平面的交集就是可行域。

The boundary line

passes through $(0,15)$ and $(45,0)$, while

passes through $(0,37.5)$ and $(25,0)$.

The two sloping boundaries intersect where

which gives

The feasible region $R$ is the quadrilateral with vertices

画一条形如 $7x+4y=c$ 的目标线，并保持斜率 $-7/4$ 不变，向使 $c$ 增大的方向平移。目标线最后接触可行域的位置就是最大值所在顶点。

For example, draw the objective line

which has gradient $-7/4$. Moving this line parallel to itself in the direction of increasing $7x+4y$, its final point of contact with $R$ is

由最优顶点得到小型和中型容器数量，再利用总数恰为 45 求大型容器数量。最后代回原成本函数，而不是代入已变形的最大化目标式。

At $V$, $x=27$ and $y=6$. Hence

Therefore the company should make

The corresponding total cost is