$x$、$y$ 和 $z$ 的线性规划问题描述如下。

最大化 $P = -x + y$

约束条件

$x + 2y + z \leq 15$ $3x - 4y + 2z \geq 1$ $2x + y + z = 14$ $x \geq 0, \quad y \geq 0, \quad z \geq 0$

(a) (i) 从前两个不等式约束中消去 $z$，简化答案。

(ii) 由此写出 $P$ 的最大可能值。

已知 $P$ 取 (a)(ii) 中找到的最大可能值，

(b) (i) 确定 $x$ 的最大可能值。

(ii) 由此找到线性规划问题的解。

先由等式约束把 $z$ 表示为 $x,y$，再分别代入前两个不等式。代入后逐项合并，并在第二个不等式乘以 $-1$ 时反转不等号。

From

we have

Substituting into the first inequality,

so

Substituting into the second inequality,

Therefore

which gives

目标函数 $P=-x+y$ 正好是 (a)(i) 第一个新约束的左端，因此该约束直接给出 $P\leq1$。题目后续会在这一边界上找到可行点，所以最大可能值就是 1。

Since

the maximum possible value is

当 $P$ 取得最大值 1 时，必有 $-x+y=1$，即 $y=x+1$。把它代入另一个消元后的约束 $x+6y\leq27$，即可求出 $x$ 的上界；等号成立时达到该上界。

At the maximum value of $P$,

so $y=x+1$. Hence

Therefore

and the maximum possible value of $x$ is

由 (b)(i) 取 $x=3$，再用 $y=x+1$ 得到 $y=4$。最后代回原等式约束求 $z$，并检查所得三元组非负且满足全部原约束。

Taking $x=3$ gives

Using $2x+y+z=14$,

so $z=4$. The values are non-negative and satisfy all the original constraints. Thus a solution is