图 5 显示了 $x$ 和 $y$ 的线性规划问题的约束条件，其中 $R$ 是可行域。图中显示了两条直线的方程和三个交点 $A$、$B$ 和 $C$。$C$ 的坐标为 $\left(\dfrac{35}{4}, \dfrac{15}{4}\right)$。

目标函数为 $P = x + 3y$。

当目标是最大化 $x + 3y$ 时，$P$ 的值为 24。

当目标是最小化 $x + 3y$ 时，$P$ 的值为 10。

(a) (i) 找到 $A$ 和 $B$ 的坐标。

(ii) 确定定义 $R$ 的不等式。

一个附加约束 $y \geq kx$（其中 $k$ 是正常数）被添加到线性规划问题中。

(b) 确定 $k$ 的最大值，使得此附加约束不影响可行域。

目标函数在可行域顶点取得极值。图中 A 位于直线 $-x+5y=10$ 上，且在 A 取得最小值 10；B 位于直线 $4x+8y=65$ 上，且在 B 取得最大值 24。因此分别把两点代入 $x+3y=10$ 与 $x+3y=24$，解两组联立方程。

Let $A=(a_1,a_2)$. Since the minimum value of $x+3y$ is 10 at $A$,

Adding the equations gives $8a_2=20$, so

Let $B=(b_1,b_2)$. Since the maximum value of $x+3y$ is 24 at $B$,

Substituting $b_1=24-3b_2$ into the second equation,

so $b_2=\dfrac{31}{4}$ and $b_1=\dfrac34$. Hence

第三条边界线通过 A、B，先由两点求斜率与方程。然后在三条边界各取可行域内部一点判断不等号方向；从图形也可看出 $R$ 位于上升直线的上方，并位于另外两条下降直线的相应一侧。

The gradient of the line through $A$ and $B$ is

Therefore its equation is

or

Using the position of the feasible region relative to each boundary, the inequalities defining $R$ are

约束 $y\geq kx$ 表示可行点必须位于过原点、斜率为 $k$ 的直线上方。要使它不削去 $R$ 的任何部分，最大斜率的边界线应刚好通过 $R$ 中 $y/x$ 最小的顶点 C。

At the greatest possible value of $k$, the line $y=kx$ passes through

Thus