图 2 显示了 $x$ 和 $y$ 的线性规划问题的约束条件，其中 $R$ 是可行域。图上显示了两条直线的方程。

(a) 确定定义可行域的不等式。

(b) 找到可行域顶点的确切坐标。

目标是最大化 $P$，其中 $P = 2x + ky$。

(c) 对于 $k = 3$ 的情况，使用点测试法找到可行域的最优顶点，并写出相应的 $P$ 值。

(d) 确定 $k$ 的取值范围，使得 (c) 中找到的最优顶点仍然是最优的。

从阴影区域相对三条边界的位置判断不等号方向。第三条直线经过图上的 $(0,2)$ 与 $(10,14)$；先由两点式求其方程，再代入可行域内一点判断应取直线的哪一侧。

From the graph, the feasible region lies below $y=2x$ and below $3x+y=30$. Thus

and

For the third boundary, using the points $(0,2)$ and $(10,14)$ gives

Simplifying,

The feasible region lies above this line, so the inequalities are

可行域的三个顶点分别是三对边界直线的交点。联立对应的两条直线，并保留精确分数形式。

First, $y=2x$ and $3x+y=30$ give

so the first vertex is

Next, $y=2x$ and $5y=6x+10$ give

so

Finally, $3x+y=30$ and $5y=6x+10$ give

so $x=\frac{20}{3}$ and $y=10$. Therefore the vertices are

当 $k=3$ 时，目标函数为 $P=2x+3y$。点测试法要求把可行域的三个顶点逐一代入，再比较所得目标函数值。

For $k=3$, the objective is $P=2x+3y$. Testing the three vertices gives

Therefore the optimal vertex and maximum value are

要使 $(6,12)$ 继续最优，只需将它的目标函数值与相邻竞争顶点 $\bigl(\frac{20}{3},10\bigr)$ 比较。两者相等时是临界值；题目允许该顶点仍为并列最优，所以端点应包含。

For $(6,12)$ to remain optimal,

Hence

so

Therefore

比较目标线与顶点两侧边界的斜率。先排除 $k\leq0$：从 $(6,12)$ 沿 $3x+y=30$ 向右下方移动时，$x$ 增大、$y$ 减小，目标值会增大。对于 $k>0$，目标线斜率为 $-2/k$；要使 $(6,12)$ 最优，斜率应在两侧边界的斜率 $-3$ 与 $2$ 之间。目标线斜率为负，因此只需处理与 $-3$ 的比较；平行于边界时该顶点仍为并列最优。

If $k\leq0$, moving from $(6,12)$ towards $\bigl(\frac{20}{3},10\bigr)$ increases $x$ and decreases $y$, so $2x+ky$ increases. Thus $(6,12)$ cannot be optimal in this case.

For $k>0$, the objective line is

with gradient $-2/k$. The two boundaries meeting at $(6,12)$ have gradients $-3$ and $2$.

For this vertex to remain optimal, the objective gradient must satisfy

Since $k>0$, the second inequality is automatic. Multiplying the first inequality by the positive number $k$ gives

so

At $k=\frac23$, the objective line is parallel to $3x+y=30$, so $(6,12)$ is still an optimal vertex.