题目

Problem

Figure 3 shows the constraints of a linear programming problem in $x$ and $y$ .

The unshaded area, including its boundaries, forms the feasible region, $R$ .

The four vertices of $R$ are $A(6, 8)$ , $B(13, 12)$ , $C(9, 22)$ and $D(5, 18)$ .

An objective line has been drawn and labelled on the graph.

When the objective function, $P$ , is maximised, the value of $P$ is 540.

When the objective function, $P$ , is minimised, the value of $P$ is $k$ .

Determine the value of $k$ . You must make your method and working clear.

(You may assume that the objective function, $P$ , takes the form $ax + by$ where $a$ and $b$ are constants.)

(5)

题目中文翻译

图 3 显示了 $x$ 和 $y$ 的线性规划问题的约束条件。

未阴影区域（包括其边界）构成可行域 $R$ 。

$R$ 的四个顶点为 $A(6, 8)$ 、 $B(13, 12)$ 、 $C(9, 22)$ 和 $D(5, 18)$ 。

图上已画出并标注了一条目标线。

当目标函数 $P$ 最大化时， $P$ 的值为 540。

当目标函数 $P$ 最小化时， $P$ 的值为 $k$ 。

确定 $k$ 的值。必须清楚说明方法和计算过程。

（可以假设目标函数 $P$ 的形式为 $ax + by$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。）

(5)

解答

解法一

思路

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目标线在 $y$ 轴和 $x$ 轴上的截距分别为 4 和 4.5，因此它的斜率为 $-\frac89$ ，可把目标函数写成 $\lambda(4x+4.5y)$ 。沿平行目标线移动可知，最大值在 C 点取得、最小值在 A 点取得。先用 C 点和最大值 540 求比例常数，再代入 A 点。

答题过程

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The objective line has intercepts $(0,4)$ and $(4.5,0)$ , so its gradient is

\frac{0-4}{4.5-0}=-\frac89.

Hence an objective function with parallel objective lines can be written as

P=\lambda(4x+4.5y).

The objective function is maximised at $C(9,22)$ . Therefore

\begin{align*} 540=&\,\lambda\big(4(9)+4.5(22)\big)\\ =&\,135\lambda, \end{align*}

which gives

\lambda=4.

The objective function is minimised at $A(6,8)$ . Hence

\begin{align*} k=&\,4\big(4(6)+4.5(8)\big)\\ =&\,4(60)\\ =&\,\boxed{240}. \end{align*}

解法二

思路

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设目标函数为 $P=ax+by$ 。目标线的两个截距给出系数之间的比例；最大值在 $C(9,22)$ 取得，给出另一个方程。联立求出 $a$ 、 $b$ 后，把取得最小值的 $A(6,8)$ 代入即可。

答题过程

展开

Let $P=ax+by$ . Since $(4.5,0)$ and $(0,4)$ lie on the same objective line,

4.5a=4b.

Hence

b=\frac98a.

The maximum occurs at $C(9,22)$ and is 540, so

9a+22b=540.

Substituting for $b$ gives

\begin{align*} 9a+22\Big(\frac98a\Big)=&\,540,\\ 72a+198a=&\,4320,\\ 270a=&\,4320,\\ a=&\,16. \end{align*}

Therefore

b=\frac98(16)=18.

The minimum occurs at $A(6,8)$ . Thus

\begin{align*} k=&\,6a+8b\\ =&\,6(16)+8(18)\\ =&\,96+144\\ =&\,\boxed{240}. \end{align*}

D1 2024 Jan Q5

题目

解答

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程