题目

Problem

Figure 4 shows the constraints of a linear programming problem in $x$ and $y$ , where $R$ is the feasible region.

The equations of three of the lines, and the four intersection points, $A$ , $B$ , $C$ and $D$ , are shown.

The four vertices of $R$ are $A\left(\dfrac{9}{4}, \dfrac{21}{2}\right)$ , $B(5, 5)$ , $C(10, 7)$ and $D\left(\dfrac{27}{4}, \dfrac{27}{2}\right)$ .

(a) Determine the inequalities that define $R$ .

(4)

The objective function, $P$ , is given by

$P = 2x + ky$

where $k$ is a positive constant.

Given that the minimum value of $P$ is at least half of the maximum value of $P$ ,

(b) determine the range of possible values of $k$ .

(5)

题目中文翻译

图 4 显示了 $x$ 和 $y$ 的线性规划问题的约束条件，其中 $R$ 是可行域。

三条直线的方程和四个交点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 已标出。

$R$ 的四个顶点为 $A\left(\dfrac{9}{4}, \dfrac{21}{2}\right)$ 、 $B(5, 5)$ 、 $C(10, 7)$ 和 $D\left(\dfrac{27}{4}, \dfrac{27}{2}\right)$ 。

(a) 确定定义 $R$ 的不等式。

目标函数 $P$ 由下式给出

$P = 2x + ky$

其中 $k$ 是正的常数。

已知 $P$ 的最小值至少是 $P$ 最大值的一半，

(b) 确定 $k$ 的可能取值范围。

解答

(a)

解法一

思路

展开

前三条边界直线的方程已在图中给出。第四条边界经过 A、D，先由两点求出方程。再选取可行域内部的测试点，判断每条边界应取哪一侧。

答题过程

展开

The gradient of the line through A and D is

\frac{\dfrac{27}{2}-\dfrac{21}{2}} {\dfrac{27}{4}-\dfrac94} =\frac23.

Hence

y-\frac{21}{2} =\frac23\left(x-\frac94\right),

so the fourth boundary line is

-2x+3y=27.

Testing a point inside $R$ gives the four constraints

\boxed{ \begin{aligned} 2x+y\geq&\,15,\\ -2x+5y\geq&\,15,\\ -2x+3y\leq&\,27,\\ 2x+y\leq&\,27. \end{aligned}}

(b)

解法一

思路

展开

线性目标函数的最大值和最小值必在可行域顶点取得。先把四个顶点代入 $P=2x+ky$ 。当 $k\leq1$ 时，最小值在 A、最大值在 C；当 $k\geq1$ 时，最小值在 B、最大值在 D。分别使用“最小值至少为最大值的一半”建立不等式，最后合并两个范围。

答题过程

展开

The values of $P$ at the four vertices are

\begin{aligned} P_A=&\,\frac92+\frac{21}{2}k,\\ P_B=&\,10+5k,\\ P_C=&\,20+7k,\\ P_D=&\,\frac{27}{2}+\frac{27}{2}k. \end{aligned}

Also,

\begin{aligned} P_B-P_A=&\,\frac{11}{2}(1-k),\\ P_C-P_D=&\,\frac{13}{2}(1-k),\\ P_D-P_A=&\,9+3k>0,\\ P_C-P_B=&\,10+2k>0. \end{aligned}

For $0<k\leq1$ , the minimum is at A and the maximum is at C. Therefore,

\begin{aligned} \frac92+\frac{21}{2}k \geq&\,\frac12(20+7k)\\ 9+21k\geq&\,20+7k\\ 14k\geq&\,11, \end{aligned}

giving

k\geq\frac{11}{14}.

For $k\geq1$ , the minimum is at B and the maximum is at D. Therefore,

\begin{aligned} 10+5k \geq&\,\frac12\left(\frac{27}{2}+\frac{27}{2}k\right)\\ 20+10k\geq&\,\frac{27}{2}+\frac{27}{2}k\\ \frac{13}{2}\geq&\,\frac72k, \end{aligned}

giving

k\leq\frac{13}{7}.

Combining the two cases,

\boxed{\frac{11}{14}\leq k\leq\frac{13}{7}}.

IAL 2024 June D1 Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程