一个项目由图 3 所示的活动网络建模。活动由弧表示。每条弧上括号内的数字是完成活动所需的时间（单位：天）。每个活动恰好需要一名工人。项目应在最短时间内完成。

(a) 解释事件 10 和事件 11 之间虚活动的目的。

(b) 在答案本中完成图 1，显示最早事件时间和最晚事件时间。

(c) 说明关键活动。

(d) 计算活动 K 在不延长项目完成时间的情况下可以延迟的最大天数。必须清楚说明计算中使用的数字。

(e) 在答案本中的网格上绘制甘特图（级联图）。

(f) 使用甘特图确定在最短时间内完成项目所需最少工人数量的下界。必须具体说明工人数量、活动和时间。

活动箭线图中不能有两个活动拥有完全相同的起点和终点。若没有事件 10 到事件 11 的虚活动，Q 与 R 将无法被唯一识别，因此需要用虚活动区分它们。

The dummy is required to define activities Q and R uniquely, so that they do not have the same start and end events.

正向计算最早事件时间：每个事件取所有进入活动的“前一事件最早时间加活动时长”之最大值。再从项目完成时间 41 反向计算最晚事件时间：每个事件取所有离开活动的“后一事件最晚时间减活动时长”之最小值。

The early and late event times are

关键活动的总浮时为 0。沿最早与最晚事件时间相同的事件追踪，并检查相邻活动恰好连接这些时间，可得从事件 1 到事件 11 的关键路径。

The critical activities are

活动 K 从事件 6 开始、在事件 9 结束。用“终点最晚事件时间减起点最早事件时间，再减活动时长”计算它的总浮时。

For activity K,

Therefore, activity K can be delayed by at most

官方评分资料也接受比较路径长度。包含 K 且决定其可延迟空间的路线为 C-H-K-M-P；用项目最短完成时间减去该路线总时长，即为 K 可以增加而不延误项目的时间。

The duration of the path containing C, H, K, M and P is

Since the minimum project completion time is 41 days, the maximum possible delay to K is

先把关键活动 A、F、I、L、P 首尾相接画在固定位置；其余活动从最早开始时间画到最早完成时间，并将末端到最晚完成时间之间的总浮时清楚标出。级联图必须包含全部 17 个活动，且每个活动只出现一次。

A correct cascade chart can be drawn from the following intervals. The float follows each non-critical activity.

在级联图中寻找无论怎样利用浮时都必定重叠的活动。严格在时间 12 与 13 之间，D、E、F、G、H 五项活动都正在进行，而每项活动各需一名工人，因此至少需要五名工人。

For any time $t$ such that

activities D, E, F, G and H must all be in progress. Since each activity requires one worker, a lower bound for the minimum number of workers is