1. $f(x) = 5 + 4x^2 - \dfrac{4}{3}x^3 - \dfrac{7}{2x} \quad x > 0$

(a) 求 $f'(x)$。

方程 $f(x) = 0$ 的一个根 $\alpha$ 在区间 $[0.5, 0.6]$ 内。

(b) 取 $0.5$ 作为 $\alpha$ 的第一个近似值，对 $f(x)$ 应用一次 Newton-Raphson 法，求 $\alpha$ 的第二个近似值。答案保留 3 位小数。

(c) 证明方程 $f(x) = 0$ 在区间 $[3, 3.5]$ 内有一个根 $\beta$。

(d) 在区间 $[3, 3.5]$ 上使用一次线性插值，求 $\beta$ 的近似值。答案保留 2 位小数。

先把分式项写成幂的形式 $-\frac72x^{-1}$，再逐项求导。特别注意，$x^{-1}$ 求导后会产生负号，与原来的负号相消。

Write

Differentiating term by term,

使用 Newton-Raphson 迭代公式 $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，并严格只从 $x_1=0.5$ 迭代一次。

At $x=0.5$,

and

Using one Newton-Raphson iteration,

Therefore, the second approximation is

to $3$ decimal places.

分别计算区间两端的函数值。由于 $f$ 在 $x>0$ 上连续，而两端函数值异号，可由介值定理判断区间内存在根。

and

Since $f$ is continuous for $x>0$ and there is a change of sign between $x=3$ and $x=3.5$, the equation $f(x)=0$ has a root $\beta$ in the interval

承接 (c)，把端点到零点的水平距离按两端函数值的绝对值成比例分配。根离 $x=3$ 的距离等于区间长度乘以 $|f(3)|$ 在两个绝对函数值之和中的占比。

Using the values from part (c), linear interpolation gives

Hence

to $2$ decimal places.

官方也接受写出连接 $(3,f(3))$ 与 $(3.5,f(3.5))$ 的割线方程，再令割线上的 $y=0$。所得横坐标就是一次线性插值的结果。

The gradient of the line joining the two points is

Hence the secant line through $\big(3,\frac{23}{6}\big)$ is

At the interpolated root, $y=0$, so

Therefore,

to $2$ decimal places.