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FP1 2019 May Q1

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2019 May Paper · Question 1

题目

Problem

1.

f(x)= 5+4x2 −43x3 −72x.\begin{align*} f(x)=&\,5+4x^2\\ &\,\hspace{2pt}-\dfrac43x^3\\ &\,\hspace{4pt}-\dfrac{7}{2x}. \end{align*}

x>0x>0

(a) Find f′(x)f'(x).

(2)

A root α\alpha of the equation f(x)=0f(x) = 0 lies in the interval [0.5,0.6][0.5, 0.6].

(b) Using 0.50.5 as a first approximation to α\alpha, apply the Newton-Raphson process once to f(x)f(x) to find a second approximation to α\alpha. Give your answer to 3 decimal places.

(3)

(c) Show that the equation f(x)=0f(x) = 0 has a root β\beta in the interval [3,3.5][3, 3.5].

(2)

(d) Use linear interpolation once on the interval [3,3.5][3, 3.5] to find an approximation to β\beta. Give your answer to 2 decimal places.

(3)
题目中文翻译

1.

f(x)= 5+4x2 −43x3 −72x.\begin{align*} f(x)=&\,5+4x^2\\ &\,\hspace{2pt}-\dfrac43x^3\\ &\,\hspace{4pt}-\dfrac{7}{2x}. \end{align*}

x>0x>0

(a) 求 f′(x)f'(x)。

(2)

方程 f(x)=0f(x) = 0 的一个根 α\alpha 在区间 [0.5,0.6][0.5, 0.6] 内。

(b) 取 0.50.5 作为 α\alpha 的第一个近似值，对 f(x)f(x) 应用一次 Newton-Raphson 法，求 α\alpha 的第二个近似值。答案保留 3 位小数。

(3)

(c) 证明方程 f(x)=0f(x) = 0 在区间 [3,3.5][3, 3.5] 内有一个根 β\beta。

(2)

(d) 在区间 [3,3.5][3, 3.5] 上使用一次线性插值，求 β\beta 的近似值。答案保留 2 位小数。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先把分式项写成幂的形式 −72x−1-\frac72x^{-1}，再逐项求导。特别注意，x−1x^{-1} 求导后会产生负号，与原来的负号相消。

答题过程

展开

Write

f(x)= 5+4x2−43x3 −72x−1.\begin{align*} f(x)=&\,5+4x^2-\frac43x^3\\ &\,\hspace{2pt}-\frac72x^{-1}. \end{align*}

Differentiating term by term,

f′(x)=8x−4x2+72x−2.\boxed{f'(x)=8x-4x^2+\frac72x^{-2}}.

(b)

解法一

思路

展开

使用 Newton-Raphson 迭代公式 xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}，并严格只从 x1=0.5x_1=0.5 迭代一次。

答题过程

展开

At x=0.5x=0.5,

f(0.5)=−76f(0.5)=-\frac76

and

f′(0.5)=17.f'(0.5)=17.

Using one Newton-Raphson iteration,

x2= x1−f(x1)f′(x1)= 0.5−−7617= 0.568627…\begin{align*} x_2 =&\,x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \\ =&\,0.5-\frac{-\frac76}{17} \\ =&\,0.568627\ldots \end{align*}

Therefore, the second approximation is

α=0.569\boxed{\alpha=0.569}

to 33 decimal places.

(c)

解法一

思路

展开

分别计算区间两端的函数值。由于 ff 在 x>0x>0 上连续，而两端函数值异号，可由介值定理判断区间内存在根。

答题过程

展开 f(3)=236>0f(3)=\frac{23}{6}>0

and

f(3.5)=−256<0.f(3.5)=-\frac{25}{6}<0.

Since ff is continuous for x>0x>0 and there is a change of sign between x=3x=3 and x=3.5x=3.5, the equation f(x)=0f(x)=0 has a root β\beta in the interval

[3,3.5].\boxed{[3,3.5]}.

(d)

解法一

思路

展开

承接 (c)，把端点到零点的水平距离按两端函数值的绝对值成比例分配。根离 x=3x=3 的距离等于区间长度乘以 ∣f(3)∣|f(3)| 在两个绝对函数值之和中的占比。

答题过程

展开

Using the values from part (c), the distance from the left endpoint is

dL= ∣f(3)∣∣f(3)∣+∣f(3.5)∣ ×(3.5−3)= 2323+25×0.5= 2396.\begin{align*} d_L=&\,\frac{|f(3)|}{|f(3)|+|f(3.5)|}\\ &\,\hspace{2pt}\times(3.5-3)\\ =&\,\frac{23}{23+25}\times0.5\\ =&\,\frac{23}{96}. \end{align*}

Therefore,

β= 3+dL= 3.239583…\begin{align*} \beta=&\,3+d_L\\ =&\,3.239583\ldots \end{align*}

从右端点计算也完全相同。右端到插值点的距离为

dR= ∣f(3.5)∣∣f(3)∣+∣f(3.5)∣ ×(3.5−3)= 2548×0.5= 2596,β= 3.5−dR= 3.239583…\begin{align*} d_R=&\,\frac{|f(3.5)|}{|f(3)|+|f(3.5)|}\\ &\,\hspace{2pt}\times(3.5-3)\\ =&\,\frac{25}{48}\times0.5\\ =&\,\frac{25}{96},\\ \beta=&\,3.5-d_R\\ =&\,3.239583\ldots \end{align*}

Hence

β=3.24\boxed{\beta=3.24}

to 22 decimal places.

解法二

思路

展开

也可以写出连接 (3,f(3))(3,f(3)) 与 (3.5,f(3.5))(3.5,f(3.5)) 的割线方程，再令割线上的 y=0y=0。所得横坐标就是一次线性插值的结果。

答题过程

展开

The gradient of the line joining the two points is

m= −256−2363.5−3= −16.\begin{align*} m =&\,\frac{-\frac{25}{6}-\frac{23}{6}}{3.5-3} \\ =&\,-16. \end{align*}

Hence the secant line through (3,236)\big(3,\frac{23}{6}\big) is

y−236=−16(x−3).y-\frac{23}{6}=-16(x-3).

At the interpolated root, y=0y=0, so

−236= −16(x−3),x= 3+2396= 3.239583…\begin{align*} -\frac{23}{6}=&\,-16(x-3), \\ x=&\,3+\frac{23}{96} \\ =&\,3.239583\ldots \end{align*}

Therefore,

β=3.24\boxed{\beta=3.24}

to 22 decimal places.