题目

Problem

M=\begin{pmatrix}k-12&3\\4&k\end{pmatrix}

where $k$ is a real constant.

The transformation represented by the matrix $M$ transforms hexagon $R$ to hexagon $S$ .

The area of hexagon $R$ is 20 square units and the area of hexagon $S$ is 320 square units.

Find the possible values of $k$ .

(5)

题目中文翻译

M=\begin{pmatrix}k-12&3\\4&k\end{pmatrix}

其中 $k$ 是一个实常数。

矩阵 $M$ 所表示的变换将六边形 $R$ 变换为六边形 $S$ 。

六边形 $R$ 的面积为 20 平方单位，六边形 $S$ 的面积为 320 平方单位。

求 $k$ 的可能值。

(5)

解答

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二维线性变换使面积乘以 $|\det M|$ 。面积从 $20$ 变为 $320$ ，所以面积比例为 $16$ ，即 $|\det M|=16$ 。绝对值意味着行列式可以是 $16$ 或 $-16$ ，两种情况都要分别求解。

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The area scale factor is

\frac{320}{20}=16.

For a two-dimensional transformation, the area scale factor is $|\det M|$ . Now

\begin{align*} \det M =&\,(k-12)k-3(4) \\ =&\,k^2-12k-12. \end{align*}

Hence

|k^2-12k-12|=16.

First, if

k^2-12k-12=16,

then

\begin{align*} k^2-12k-28=&\,0, \\ (k-14)(k+2)=&\,0. \end{align*}

Thus

k=14 \qquad\text{or}\qquad k=-2.

Second, if

k^2-12k-12=-16,

then

k^2-12k+4=0.

Using the quadratic formula,

\begin{align*} k=&\,\frac{12\pm\sqrt{144-16}}{2} \\ =&\,\frac{12\pm\sqrt{128}}{2} \\ =&\,6\pm4\sqrt2. \end{align*}

Therefore, the possible values are

\begin{align*} k=&\,14,\quad -2,\\ &\,6+4\sqrt2,\quad 6-4\sqrt2. \end{align*}