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IAL 2019 May FP1 Q3

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2019 May Paper · Question 3

Question

Problem

(i) Given that

z∗−3z=5i3−iz^*-3z=\frac{5i}{3-i}

find zz, giving your answer in the form a+bia + bi, where aa and bb are real constants. You must show all your working.

(5)

(ii) w=−4+5iw = -4 + 5i

(a) Find arg⁡w\arg w, giving your answer in radians correct to 2 decimal places.

(2)

Given that

arg⁡(w+k)=π2\arg(w + k) = \frac{\pi}{2}

where kk is a real constant

(b) write down the value of kk.

(1)

Given that

∣w+ci∣=45|w + ci| = 4\sqrt{5}

where cc is a real constant

(c) find the possible values of cc.

(4)

中文翻译

(i) 已知

z∗−3z=5i3−iz^*-3z=\frac{5i}{3-i}

求 zz，将答案写成 a+bia + bi 的形式，其中 aa 和 bb 是实常数。必须展示所有运算过程。

(5)

(ii) w=−4+5iw = -4 + 5i

(a) 求 arg⁡w\arg w，将答案写成弧度形式，精确到 2 位小数。

(2)

已知

arg⁡(w+k)=π2\arg(w + k) = \frac{\pi}{2}

其中 kk 是一个实常数

(b) 写出 kk 的值。

(1)

已知

∣w+ci∣=45|w + ci| = 4\sqrt{5}

其中 cc 是一个实常数

(c) 求 cc 的可能值。

(4)

解答

(i)

解法一

思路

展开

先设 z=a+biz=a+b\mathrm{i}，写出共轭复数 z∗z^*，同时把右边分母实数化。最后比较等式两边的实部和虚部，分别求出 a,ba,b。

答题过程

展开

Let

z=a+bi,z=a+b\mathrm{i},

where a,b∈Ra,b\in\mathbb{R}. Then

z∗=a−bi,z^*=a-b\mathrm{i},

so

z∗−3z= (a−bi)−3(a+bi)= −2a−4bi.\begin{align*} z^*-3z =&\,(a-b\mathrm{i})-3(a+b\mathrm{i}) \\ =&\,-2a-4b\mathrm{i}. \end{align*}

Also,

5i3−i= 5i(3+i)(3−i)(3+i)= −5+15i10= −12+32i.\begin{align*} \frac{5\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}} =&\,\frac{5\mathrm{i}(3+\mathrm{i})} {(3-\mathrm{i})(3+\mathrm{i})} \\ =&\,\frac{-5+15\mathrm{i}}{10} \\ =&\,-\frac12+\frac32\mathrm{i}. \end{align*}

Therefore,

−2a−4bi=−12+32i.-2a-4b\mathrm{i}=-\frac12+\frac32\mathrm{i}.

Equating real and imaginary parts gives

−2a=−12and−4b=32.-2a=-\frac12 \qquad\text{and}\qquad -4b=\frac32.

Hence

a=14,b=−38,a=\frac14, \qquad b=-\frac38,

and therefore

z=14−38i.\boxed{z=\frac14-\frac38\mathrm{i}}.

解法二

思路

展开

官方另一条路线是不先把右边分母实数化，而是先把等式乘以 3−i3-\mathrm{i}。展开后同样比较实部和虚部，但这次得到一组关于 a,ba,b 的联立方程。

答题过程

展开

Again let z=a+biz=a+b\mathrm{i}, so that

z∗−3z=−2a−4bi.z^*-3z=-2a-4b\mathrm{i}.

Multiplying the given equation by 3−i3-\mathrm{i} gives

(−2a−4bi)(3−i)=5i.(-2a-4b\mathrm{i})(3-\mathrm{i})=5\mathrm{i}.

Expanding,

(−6a−4b)+(2a−12b)i=5i.(-6a-4b)+(2a-12b)\mathrm{i}=5\mathrm{i}.

Equating real and imaginary parts gives

−6a−4b= 0,2a−12b= 5.\begin{align*} -6a-4b=&\,0, \\ 2a-12b=&\,5. \end{align*}

The first equation gives b=−32ab=-\frac32a. Substituting into the second equation,

2a−12(−32a)=5,2a-12\bigg(-\frac32a\bigg)=5,

so 20a=520a=5. Hence

a=14,b=−38.a=\frac14, \qquad b=-\frac38.

Therefore,

z=14−38i.\boxed{z=\frac14-\frac38\mathrm{i}}.

(ii)(a)

解法一

思路

展开

w=−4+5iw=-4+5\mathrm{i} 位于第二象限，因此不能直接把参考角当作辐角；主辐角应为 π\pi 减去参考角。

答题过程

展开

Since w=−4+5iw=-4+5\mathrm{i} lies in the second quadrant,

arg⁡w= π−tan⁡−1(54)= 2.245537…\begin{align*} \arg w =&\,\pi-\tan^{-1}\bigg(\frac54\bigg) \\ =&\,2.245537\ldots \end{align*}

Therefore,

arg⁡w=2.25 radians\boxed{\arg w=2.25\text{ radians}}

to 22 decimal places.

(ii)(b)

解法一

思路

展开

辐角为 π2\frac\pi2 表示复数位于正虚轴上。w+k=(−4+k)+5iw+k=(-4+k)+5\mathrm{i} 的虚部已经为正，只需令实部为零。

答题过程

展开 w+k=(−4+k)+5i.w+k=(-4+k)+5\mathrm{i}.

For its argument to be π2\frac\pi2, its real part must be zero. Thus

−4+k=0,-4+k=0,

so

k=4.\boxed{k=4}.

(ii)(c)

解法一

思路

展开

先合并虚部，再使用复数模长公式。平方后得到关于 5+c5+c 的方程，正、负两个平方根都必须保留，因此会得到两个 cc 值。

答题过程

展开

We have

w+ci=−4+(5+c)i.w+c\mathrm{i}=-4+(5+c)\mathrm{i}.

Therefore,

∣−4+(5+c)i∣= 45,(−4)2+(5+c)2= (45)2,16+(5+c)2= 80,(5+c)2= 64.\begin{align*} |-4+(5+c)\mathrm{i}|=&\,4\sqrt5, \\ (-4)^2+(5+c)^2=&\,(4\sqrt5)^2, \\ 16+(5+c)^2=&\,80, \\ (5+c)^2=&\,64. \end{align*}

Hence

5+c=±8,5+c=\pm8,

giving

c=3orc=−13.\boxed{c=3\quad\text{or}\quad c=-13}.