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FP1 2019 May Q4

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2019 May Paper · Question 4

题目

Problem

4.

Use the standard results for summations to

(a) show that for all positive integers kk

 ∑r=13k(4r+1)= pk(2k+1)\begin{align*} &\,\sum_{r=1}^{3k}(4r+1)\\ =&\,pk(2k+1) \end{align*}

where pp is an integer to be determined.

(3)

(b) find the positive value of kk that satisfies

 ∑r=1k2r2= ∑r=13k(4r+1)\begin{align*} &\,\sum_{r=1}^{k}2r^2\\ =&\,\sum_{r=1}^{3k}(4r+1) \end{align*}
(3)
题目中文翻译

4.

使用求和的标准结果

(a) 证明对于所有正整数 kk

 ∑r=13k(4r+1)= pk(2k+1)\begin{align*} &\,\sum_{r=1}^{3k}(4r+1)\\ =&\,pk(2k+1) \end{align*}

其中 pp 是待确定的整数。

(3)

(b) 求满足下式的 kk 的正值

 ∑r=1k2r2= ∑r=13k(4r+1)\begin{align*} &\,\sum_{r=1}^{k}2r^2\\ =&\,\sum_{r=1}^{3k}(4r+1) \end{align*}
(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

把求和拆成 4∑r4\sum r 与 ∑1\sum1，并注意这里共有 3k3k 项。代入标准求和公式后整理为题目要求的形式，即可确定 pp。

答题过程

展开

Using the standard result

∑r=1nr=n(n+1)2,\sum_{r=1}^{n}r=\frac{n(n+1)}{2},

we have

 ∑r=13k(4r+1)= 4∑r=13kr+∑r=13k1= 4(3k(3k+1)2)+3k= 6k(3k+1)+3k= 18k2+9k= 9k(2k+1).\begin{align*} &\,\sum_{r=1}^{3k}(4r+1)\\ =&\,4\sum_{r=1}^{3k}r+\sum_{r=1}^{3k}1 \\ =&\,4\bigg(\frac{3k(3k+1)}{2}\bigg)+3k \\ =&\,6k(3k+1)+3k \\ =&\,18k^2+9k \\ =&\,9k(2k+1). \end{align*}

Thus the required form is obtained with

p=9.\boxed{p=9}.

解法二

思路

展开

先求一般的前 nn 项和，再令 n=3kn=3k。这能清楚区分一般求和公式与本题指定的上限。

答题过程

展开

For a positive integer nn,

 ∑r=1n(4r+1)= 4∑r=1nr+∑r=1n1= 4(n(n+1)2)+n= 2n2+3n.\begin{align*} &\,\sum_{r=1}^{n}(4r+1)\\ =&\,4\sum_{r=1}^{n}r+\sum_{r=1}^{n}1 \\ =&\,4\bigg(\frac{n(n+1)}{2}\bigg)+n \\ =&\,2n^2+3n. \end{align*}

Putting n=3kn=3k gives

 ∑r=13k(4r+1)= 2(3k)2+3(3k)= 18k2+9k= 9k(2k+1).\begin{align*} &\,\sum_{r=1}^{3k}(4r+1)\\ =&\,2(3k)^2+3(3k) \\ =&\,18k^2+9k \\ =&\,9k(2k+1). \end{align*}

Therefore,

p=9.\boxed{p=9}.

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a)，右边直接替换成 9k(2k+1)9k(2k+1)；左边使用平方和公式。由于 kk 为正整数，kk 与 2k+12k+1 均不为零，可以约去共同因子，把问题化为一次方程。

答题过程

展开

Using part (a) and the standard result for the sum of squares,

 ∑r=1k2r2= 2(k(k+1)(2k+1)6)= k(k+1)(2k+1)3.\begin{align*} &\,\sum_{r=1}^{k}2r^2\\ =&\,2\bigg(\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\bigg) \\ =&\,\frac{k(k+1)(2k+1)}{3}. \end{align*}

Hence

 k(k+1)(2k+1)3= 9k(2k+1).\begin{align*} &\,\frac{k(k+1)(2k+1)}{3}\\ =&\,9k(2k+1). \end{align*}

Since kk is positive, k≠0k\ne0 and 2k+1≠02k+1\ne0. Cancelling these factors gives

k+13=9.\frac{k+1}{3}=9.

Therefore,

k=26.\boxed{k=26}.

解法二

思路

展开

也可以先展开为三次方程，再完整因式分解。这样会同时产生非正根；最后必须使用题目要求的“正值”筛掉它们。

答题过程

展开

From part (a),

 k(k+1)(2k+1)3= 9k(2k+1).\begin{align*} &\,\frac{k(k+1)(2k+1)}{3}\\ =&\,9k(2k+1). \end{align*}

Multiplying by 33 and bringing all terms to one side,

2k3−51k2−26k= 0,k(2k+1)(k−26)= 0.\begin{align*} 2k^3-51k^2-26k=&\,0,\\ k(2k+1)(k-26)=&\,0. \end{align*}

Thus

k= 0,k= −12,or k= 26.\begin{align*} k=&\,0,\\ k=&\,-\frac12,\\ \text{or }k=&\,26. \end{align*}

The only positive value is therefore

k=26.\boxed{k=26}.