使用求和的标准结果

(a) 证明对于所有正整数 $k$

$\sum_{r=1}^{3k}(4r+1)=pk(2k+1)$

其中 $p$ 是待确定的整数。

(3)

(b) 求满足下式的 $k$ 的正值

$\sum_{r=1}^{k}2r^2=\sum_{r=1}^{3k}(4r+1)$

(3)

把求和拆成 $4\sum r$ 与 $\sum1$，并注意这里共有 $3k$ 项。代入标准求和公式后整理为题目要求的形式，即可确定 $p$。

Using the standard result

we have

Thus the required form is obtained with

官方另一条路线是先求一般的前 $n$ 项和，再令 $n=3k$。这能清楚区分一般求和公式与本题指定的上限。

For a positive integer $n$,

Putting $n=3k$ gives

Therefore,

承接 (a)，右边直接替换成 $9k(2k+1)$；左边使用平方和公式。由于 $k$ 为正整数，$k$ 与 $2k+1$ 均不为零，可以约去共同因子，把问题化为一次方程。

Using part (a) and the standard result for the sum of squares,

Hence

Since $k$ is positive, $k\ne0$ and $2k+1\ne0$. Cancelling these factors gives

Therefore,

官方也接受先展开为三次方程，再完整因式分解。这样会同时产生非正根；最后必须使用题目要求的“正值”筛掉它们。

From part (a),

Multiplying by $3$ and bringing all terms to one side,

Thus

The only positive value is therefore