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IAL 2019 May FP1 Q6

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2019 May Paper · Question 6

Question

Problem

The quadratic equation

2x2+x+4=02x^2 + x + 4 = 0

has roots α\alpha and β\beta.

Without solving the quadratic equation,

(a) write down the value of (α+β)(\alpha + \beta) and the value of αβ\alpha\beta.

(1)

(b) find the value of

(i) α2+β2\alpha^2 + \beta^2

(ii) α3+β3\alpha^3 + \beta^3

(4)

(c) find a quadratic equation that has roots

\text{ and } \left(\beta^3+\frac{1}{\alpha}\right)$$ giving your answer in the form $px^2 + qx + r = 0$, where $p$, $q$ and $r$ are integers. (4)
中文翻译

二次方程

2x2+x+4=02x^2 + x + 4 = 0

有根 α\alpha 和 β\beta。

不解二次方程，

(a) 写出 (α+β)(\alpha + \beta) 的值和 αβ\alpha\beta 的值。

(1)

(b) 求下列各式的值

(i) α2+β2\alpha^2 + \beta^2

(ii) α3+β3\alpha^3 + \beta^3

(4)

(c) 求一个二次方程，使其根为

\text{ 和 } \left(\beta^3+\frac{1}{\alpha}\right)$$ 将答案写成 $px^2 + qx + r = 0$ 的形式，其中 $p$、$q$ 和 $r$ 是整数。 (4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

直接使用二次方程的根与系数关系，不需要实际解出 α\alpha 和 β\beta。

答题过程

展开

By the sum and product of roots,

α+β=−12,αβ=2.\boxed{\alpha+\beta=-\frac12}, \qquad \boxed{\alpha\beta=2}.

(b)(i)

解法一

思路

展开

把平方和改写成只含 α+β\alpha+\beta 与 αβ\alpha\beta 的对称式，然后代入 (a) 的结果。

答题过程

展开 α2+β2= (α+β)2−2αβ= (−12)2−2(2)= −154.\begin{align*} \alpha^2+\beta^2 =&\,(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \\ =&\,\left(-\frac12\right)^2-2(2) \\ =&\,\boxed{-\frac{15}{4}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

官方替代路线是分别把 α\alpha、β\beta 代入原方程，再把两式相加，从而直接得到平方和。

答题过程

展开

Since α\alpha and β\beta are roots,

2α2+α+4=02\alpha^2+\alpha+4=0

and

2β2+β+4=0.2\beta^2+\beta+4=0.

Adding these equations gives

2(α2+β2)+(α+β)+8=0.2(\alpha^2+\beta^2)+(\alpha+\beta)+8=0.

Using α+β=−12\alpha+\beta=-\frac12,

2(α2+β2)−12+8= 0,α2+β2= −154.\begin{align*} 2(\alpha^2+\beta^2)-\frac12+8=&\,0, \\ \alpha^2+\beta^2=&\,\boxed{-\frac{15}{4}}. \end{align*}

(b)(ii)

解法一

思路

展开

使用立方和的恒等式，将所求量继续化成 (a) 已知的根和与根积。

答题过程

展开 α3+β3= (α+β)3−3αβ(α+β)= (−12)3−3(2)(−12)= −18+3= 238.\begin{align*} \alpha^3+\beta^3 =&\,(\alpha+\beta)^3 -3\alpha\beta(\alpha+\beta) \\ =&\,\left(-\frac12\right)^3 -3(2)\left(-\frac12\right) \\ =&\,-\frac18+3 \\ =&\,\boxed{\frac{23}{8}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

沿用官方替代路线：先把原方程分别乘以对应的根，再将所得两式相加，并使用 (a) 与 (b)(i) 的结果。

答题过程

展开

Multiplying the equations for α\alpha and β\beta by α\alpha and β\beta, respectively, gives

2α3+α2+4α=02\alpha^3+\alpha^2+4\alpha=0

and

2β3+β2+4β=0.2\beta^3+\beta^2+4\beta=0.

Adding,

2(α3+β3)+(α2+β2)+4(α+β)=0.2(\alpha^3+\beta^3) +(\alpha^2+\beta^2)+4(\alpha+\beta)=0.

Therefore,

2(α3+β3)−154−2= 0,α3+β3= 238.\begin{align*} 2(\alpha^3+\beta^3)-\frac{15}{4}-2=&\,0, \\ \alpha^3+\beta^3=&\,\boxed{\frac{23}{8}}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

设新方程的两根为 uu、vv。分别计算 u+vu+v 与 uvuv，并把它们化为前面已经求出的对称式；最后套用根为 u,vu,v 的首一二次方程 x2−(u+v)x+uv=0x^2-(u+v)x+uv=0。

答题过程

展开

Let

u=α3+1βandv=β3+1α.u=\alpha^3+\frac{1}{\beta} \qquad\text{and}\qquad v=\beta^3+\frac{1}{\alpha}.

Their sum is

u+v= α3+β3+1α+1β= α3+β3+α+βαβ= 238+−122= 218.\begin{align*} u+v =&\,\alpha^3+\beta^3 +\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \\ =&\,\alpha^3+\beta^3 +\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} \\ =&\,\frac{23}{8}+\frac{-\frac12}{2} \\ =&\,\frac{21}{8}. \end{align*}

Their product is

uv= (α3+1β)(β3+1α)= (αβ)3+α2+β2+1αβ= 23−154+12= 194.\begin{align*} uv =&\,\left(\alpha^3+\frac{1}{\beta}\right) \left(\beta^3+\frac{1}{\alpha}\right) \\ =&\,(\alpha\beta)^3+\alpha^2+\beta^2 +\frac{1}{\alpha\beta} \\ =&\,2^3-\frac{15}{4}+\frac12 \\ =&\,\frac{19}{4}. \end{align*}

Hence the required quadratic equation is

x2−218x+194=0.x^2-\frac{21}{8}x+\frac{19}{4}=0.

Multiplying by 88 gives

8x2−21x+38=0.\boxed{8x^2-21x+38=0}.