题目

Problem

The parabola $C$ has cartesian equation $y^2 = 4ax$ , where $a$ is a positive constant.

The point $P(ap^2, 2ap)$ lies on $C$ .

The line $l$ is the normal to $C$ at the point $P$ .

The line $l$ passes through the point $B$ with coordinates $(10a, 0)$ .

Given that $p > 0$

(a) use calculus to find, in terms of $a$ only, the coordinates of $P$ .

(7)

The point $S$ is the focus of the parabola $C$ .

(b) Find, in terms of $a$ , the exact area of triangle $SBP$ .

(2)

A circle has equation

\begin{align*} &\,(x-10a)^2+y^2\\ =&\,\frac{9a^2}{4} \end{align*}

Given that the line $l$ cuts this circle at the point $R$ , where $y > 0$

(3)

题目中文翻译

抛物线 $C$ 的直角坐标方程为 $y^2 = 4ax$ ，其中 $a$ 是一个正常数。

点 $P(ap^2, 2ap)$ 在 $C$ 上。

直线 $l$ 是 $C$ 在点 $P$ 处的法线。

直线 $l$ 经过坐标为 $(10a, 0)$ 的点 $B$ 。

已知 $p > 0$

(a) 用微积分方法，仅用 $a$ 表示，求点 $P$ 的坐标。

(7)

点 $S$ 是抛物线 $C$ 的焦点。

(b) 用 $a$ 表示，求三角形 $SBP$ 的精确面积。

(2)

一个圆的方程为

\begin{align*} &\,(x-10a)^2+y^2\\ =&\,\frac{9a^2}{4} \end{align*}

已知直线 $l$ 与该圆相交于点 $R$ ，其中 $y > 0$

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

对抛物线方程隐式求导，得到点 $P$ 处的切线斜率，再取负倒数求法线斜率。法线同时经过 $P$ 与 $B$ ，利用点斜式求出参数 $p$ ；最后代回 $P$ 的参数坐标。

答题过程

展开

Differentiating $y^2=4ax$ implicitly gives

2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=4a,

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2a}{y}.

At $P(ap^2,2ap)$ , the gradient of the tangent is

\frac{2a}{2ap}=\frac{1}{p}.

Therefore, the gradient of the normal is $-p$ . Since the normal passes through $P$ and $B(10a,0)$ ,

0-2ap=-p(10a-ap^2).

As $p>0$ , we may divide by $-p$ , giving

2a=10a-ap^2.

Since $a>0$ ,

p^2=8.

The condition $p>0$ gives

p=2\sqrt{2}.

Hence

\begin{align*} x_P =&\,ap^2=8a, \\ y_P =&\,2ap=4\sqrt{2}\,a. \end{align*}

Therefore,

\boxed{P=(8a,4\sqrt{2}\,a)}.

解法二

思路

展开

把抛物线写成参数形式，用两个参数导数的比值得到切线斜率；再直接比较 $BP$ 的斜率与法线斜率。

答题过程

展开

Write the parabola parametrically as

x=at^2,\qquad y=2at.

Then

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=&\,2at,\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=&\,2a. \end{align*}

At $t=p>0$ ,

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{2a}{2ap}=\frac1p.

Thus the normal gradient is $-p$ . Its gradient is finite, so $P$ cannot have the same $x$ -coordinate as $B$ . Using the coordinates of $B$ and $P$ ,

\frac{2ap}{ap^2-10a}=-p.

Since $a>0$ and $p>0$ , this gives

\begin{align*} 2ap=&\,-ap(p^2-10),\\ 2=&\,10-p^2,\\ p^2=&\,8,\\ p=&\,2\sqrt2. \end{align*}

Substituting into the coordinates of $P$ ,

\begin{align*} x_P=&\,8a,\\ y_P=&\,4\sqrt2\,a. \end{align*}

Hence

\boxed{P=(8a,4\sqrt2\,a)}.

若直接从上半支 $y=2\sqrt{ax}$ 求导，也得到

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\sqrt{\frac ax} =\frac1p

（这里使用了 $a>0,p>0$ ）。其后的法线计算相同。

(b)

解法一

思路

展开

抛物线 $y^2=4ax$ 的焦点是 $S=(a,0)$ 。线段 $SB$ 位于 $x$ 轴上，可作为三角形的底；点 $P$ 的纵坐标就是相应的高。

答题过程

展开

The focus of $C$ is

S=(a,0).

Since $B=(10a,0)$ ,

SB=10a-a=9a.

Let $\mathcal A$ be the area. Using the $y$ -coordinate of $P$ found in part (a),

\begin{align*} \mathcal A =&\,\frac{1}{2}(9a)(4\sqrt{2}\,a) \\ =&\,\boxed{18\sqrt{2}\,a^2}. \end{align*}

解法二

思路

展开

由 (a) 的坐标直接使用三角形坐标面积公式。两点在 $x$ 轴上，许多乘积为零，计算很短。

答题过程

展开

Using

S=(a,0),\quad B=(10a,0),

and $P=(8a,4\sqrt2\,a)$ from part (a), let $\mathcal A$ denote the area of triangle $SBP$ . The coordinate area formula gives

\begin{align*} 2\mathcal A =&\,\big|a(0-4\sqrt2\,a)\\ &\,\hspace{2pt}+10a(4\sqrt2\,a-0)\\ &\,\hspace{4pt}+8a(0-0)\big|\\ =&\,36\sqrt2\,a^2. \end{align*}

Therefore,

\mathcal A=\boxed{18\sqrt2\,a^2}.

(c)

解法一

思路

展开

圆心是 $B=(10a,0)$ ，而法线 $l$ 经过 $B$ ，所以 $BR$ 是圆的半径。由 $y_R>0$ 可知 $R$ 与 $P$ 位于从 $B$ 出发的同一条射线上，因此 $PR=PB-BR$ 。

答题过程

展开

Using $P=(8a,4\sqrt{2}\,a)$ and $B=(10a,0)$ ,

\begin{align*} PB^2=&\,(2a)^2+(4\sqrt2\,a)^2\\ =&\,36a^2,\\ PB=&\,6a. \end{align*}

The circle has centre $B$ and radius

BR=\frac{3a}{2}.

The condition $y_R>0$ places $R$ on the ray from $B$ towards $P$ . Hence

\begin{align*} PR =&\,PB-BR \\ =&\,6a-\frac{3a}{2} \\ =&\,\boxed{\frac{9a}{2}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

联立法线与圆方程求交点，利用 $y>0$ 选择 $R$ ，最后用两点距离公式求 $PR$ 。令 $u=x-10a$ 可以缩短代数计算。

答题过程

展开

From part (a), the normal passes through $B$ with gradient $-2\sqrt2$ , so

y=-2\sqrt2(x-10a).

Let $u=x-10a$ . Substituting $y=-2\sqrt2\,u$ into the circle equation gives

\begin{align*} u^2+8u^2=&\,\frac94a^2,\\ 9u^2=&\,\frac94a^2,\\ u=&\,\pm\frac a2. \end{align*}

Since $y_R>0$ , we require $u<0$ . Thus

\begin{align*} x_R=&\,10a-\frac a2=\frac{19a}{2},\\ y_R=&\,-2\sqrt2\big(-\frac a2\big)\\ =&\,\sqrt2\,a. \end{align*}

The coordinate differences from $P$ to $R$ are

\begin{align*} x_R-x_P=&\,\frac{3a}{2},\\ y_R-y_P=&\,-3\sqrt2\,a. \end{align*}

Hence

\begin{align*} PR^2=&\,\big(\frac{3a}{2}\big)^2\\ &\,\hspace{2pt}+(-3\sqrt2\,a)^2\\ =&\,\frac94a^2+18a^2\\ =&\,\frac{81}{4}a^2. \end{align*}

As $a>0$ ,

\boxed{PR=\frac{9a}{2}}.

解法三

思路

展开

用半径和法线方向的夹角求出 $R$ 的坐标，再计算两点距离。注意半径是 $3a/2$ ，横纵方向的位移都必须带因子 $a$ 。

答题过程

展开

Let $\theta$ be the acute angle between the ray $BP$ and the negative $x$ -axis. From part (a),

\tan\theta=\frac{4\sqrt2\,a}{2a}=2\sqrt2.

Since $0<\theta<\pi/2$ ,

\begin{align*} \cos\theta=&\,\frac13,\\ \sin\theta=&\,\frac{2\sqrt2}{3}. \end{align*}

The circle has centre $B$ and radius $3a/2$ . The intersection with $y>0$ is on the ray $BP$ , so

\begin{align*} x_R=&\,10a-\frac{3a}{2}\cos\theta\\ =&\,\frac{19a}{2},\\ y_R=&\,\frac{3a}{2}\sin\theta\\ =&\,\sqrt2\,a. \end{align*}

Using $P=(8a,4\sqrt2\,a)$ ,

\begin{align*} PR^2=&\,\big(\frac{3a}{2}\big)^2\\ &\,\hspace{2pt}+(-3\sqrt2\,a)^2\\ =&\,\frac{81}{4}a^2. \end{align*}

Therefore, since $a>0$ ,

\boxed{PR=\frac{9a}{2}}.

FP1 2019 May Q9

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

解法三

思路

答题过程