抛物线 $C$ 的直角坐标方程为 $y^2 = 4ax$，其中 $a$ 是一个正常数。

点 $P(ap^2, 2ap)$ 在 $C$ 上。

直线 $l$ 是 $C$ 在点 $P$ 处的法线。

直线 $l$ 经过坐标为 $(10a, 0)$ 的点 $B$。

已知 $p > 0$

(a) 用微积分方法，仅用 $a$ 表示，求点 $P$ 的坐标。

点 $S$ 是抛物线 $C$ 的焦点。

(b) 用 $a$ 表示，求三角形 $SBP$ 的精确面积。

一个圆的方程为

$(x - 10a)^2 + y^2 = \frac{9a^2}{4}$

已知直线 $l$ 与该圆相交于点 $R$，其中 $y > 0$

(c) 用 $a$ 表示，求距离 $PR$。

对抛物线方程隐式求导，得到点 $P$ 处的切线斜率，再取负倒数求法线斜率。法线同时经过 $P$ 与 $B$，利用点斜式求出参数 $p$；最后代回 $P$ 的参数坐标。

Differentiating $y^2=4ax$ implicitly gives

so

At $P(ap^2,2ap)$, the gradient of the tangent is

Therefore, the gradient of the normal is $-p$. Since the normal passes through $P$ and $B(10a,0)$,

As $p>0$, we may divide by $-p$, giving

Since $a>0$,

The condition $p>0$ gives

Hence

Therefore,

抛物线 $y^2=4ax$ 的焦点是 $S=(a,0)$。线段 $SB$ 位于 $x$ 轴上，可作为三角形的底；点 $P$ 的纵坐标就是相应的高。

The focus of $C$ is

Since $B=(10a,0)$,

Using the $y$-coordinate of $P$ found in part (a),

圆心是 $B=(10a,0)$，而法线 $l$ 经过 $B$，所以 $BR$ 是圆的半径。由 $y_R>0$ 可知 $R$ 与 $P$ 位于从 $B$ 出发的同一条射线上，因此 $PR=PB-BR$。

Using $P=(8a,4\sqrt{2}\,a)$ and $B=(10a,0)$,

The circle has centre $B$ and radius

The condition $y_R>0$ places $R$ on the ray from $B$ towards $P$. Hence