IAL 2019 May FP1 Q9 | 國際數學站

Question

[!problem]

The parabola $C$ has cartesian equation $y^2 = 4ax$ , where $a$ is a positive constant.

The point $P(ap^2, 2ap)$ lies on $C$ .

The line $l$ is the normal to $C$ at the point $P$ .

The line $l$ passes through the point $B$ with coordinates $(10a, 0)$ .

Given that $p > 0$

(a) use calculus to find, in terms of $a$ only, the coordinates of $P$ .

The point $S$ is the focus of the parabola $C$ .

(b) Find, in terms of $a$ , the exact area of triangle $SBP$ .

A circle has equation

$(x - 10a)^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$

Given that the line $l$ cuts this circle at the point $R$ , where $y > 0$

(c) find, in terms of $a$ , the distance $PR$ .

中文翻译

抛物线 $C$ 的直角坐标方程为 $y^2 = 4ax$ ，其中 $a$ 是一个正常数。

点 $P(ap^2, 2ap)$ 在 $C$ 上。

直线 $l$ 是 $C$ 在点 $P$ 处的法线。

直线 $l$ 经过坐标为 $(10a, 0)$ 的点 $B$ 。

已知 $p > 0$

(a) 用微积分方法，仅用 $a$ 表示，求点 $P$ 的坐标。

点 $S$ 是抛物线 $C$ 的焦点。

(b) 用 $a$ 表示，求三角形 $SBP$ 的精确面积。

一个圆的方程为

$(x - 10a)^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$

已知直线 $l$ 与该圆相交于点 $R$ ，其中 $y > 0$

(c) 用 $a$ 表示，求距离 $PR$ 。