题目

Problem

A=\begin{pmatrix} p & -5 \\ -2 & p + 3 \end{pmatrix}

(a) Determine the values of the constant $p$ for which $A$ is singular.

(3)

Given that $p = 3$

(b) determine $A^{-1}$

(3)

题目中文翻译

A=\begin{pmatrix} p & -5 \\ -2 & p + 3 \end{pmatrix}

(a) 确定使 $A$ 为奇异矩阵的常数 $p$ 的值。

(3)

已知 $p = 3$

(b) 求 $A^{-1}$ 。

(3)

解答

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矩阵奇异当且仅当行列式为零。先计算 $\det A$ ，令它等于零，再解关于 $p$ 的二次方程。

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For $A$ to be singular,

\det A=0.

Thus

\begin{align*} p(p+3)-(-5)(-2)=&\,0, \\ p^2+3p-10=&\,0, \\ (p+5)(p-2)=&\,0. \end{align*}

Therefore,

\boxed{p=-5\quad\text{or}\quad p=2}.

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把 $p=3$ 代入矩阵。对于二阶矩阵，先交换主对角线元素，再把副对角线元素变号，得到伴随矩阵；最后除以行列式。

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When $p=3$ ,

A= \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}.

Its determinant is

\begin{align*} \det A =&\,3(6)-(-5)(-2) \\ =&\,18-10 \\ =&\,8. \end{align*}

Hence

\begin{align*} A^{-1} =&\,\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A) \\ =&\,\frac{1}{8} \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}. \end{align*}

Therefore,

\boxed{ A^{-1} =\frac{1}{8} \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} }.