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IAL 2020 Jan FP1 Q2

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2020 Jan Paper · Question 2

题目

Problem

2. Given that x=−13x = -\dfrac{1}{3} is a root of the equation

3x3+kx2+33x+13=0k∈R3x^3 + kx^2 + 33x + 13 = 0 \quad k \in \mathbb{R}

determine

(a) the value of kk,

(2)

(b) the other 2 roots of the equation in the form a+iba + ib, where aa and bb are real numbers.

(4)
题目中文翻译
  1. 已知 x=−13x = -\dfrac{1}{3} 是方程

3x3+kx2+33x+13=0k∈R3x^3 + kx^2 + 33x + 13 = 0 \quad k \in \mathbb{R}

的一个根，求

(a) kk 的值。

(b) 方程的另外两个根，写成 a+iba + ib 的形式，其中 aa 和 bb 是实数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

已知 −13-\frac13 是方程的根，因此代入多项式后结果必须为零。所得方程只含未知数 kk，直接整理即可。

答题过程

展开

Since x=−13x=-\dfrac{1}{3} is a root,

0= 3(−13)3 +k(−13)2 +33(−13)+13.\begin{align*} 0 =&\,3\bigg(-\frac{1}{3}\bigg)^3 \\ &\,\hspace{2pt} +k\bigg(-\frac{1}{3}\bigg)^2 \\ &\,\hspace{4pt} +33\bigg(-\frac{1}{3}\bigg)+13. \end{align*}

Therefore,

−19+k9−11+13= 0,−1+k+18= 0,k= −17.\begin{align*} -\frac{1}{9}+\frac{k}{9}-11+13=&\,0, \\ -1+k+18=&\,0, \\ k=&\,\boxed{-17}. \end{align*}

解法二

思路

展开

由根 −13-\frac13 可知 3x+13x+1 是多项式的因式。把三次式写成 (3x+1)(3x+1) 与一个二次式的乘积，再比较系数求出 kk。这是官方评分资料给出的另一条路线。

答题过程

展开

Since 3x+13x+1 is a factor, write

3x3+kx2+33x+13=(3x+1)(x2+Ax+13).3x^3+kx^2+33x+13 =(3x+1)(x^2+Ax+13).

Expanding the right-hand side,

(3x+1)(x2+Ax+13)= 3x3+(3A+1)x2 +(39+A)x+13.\begin{align*} (3x+1)(x^2+Ax+13) =&\,3x^3+(3A+1)x^2 \\ &\,\hspace{2pt}+(39+A)x+13. \end{align*}

Comparing the coefficients of xx,

39+A=33,39+A=33,

so A=−6A=-6. Comparing the coefficients of x2x^2,

k= 3A+1= 3(−6)+1= −17.\begin{align*} k =&\,3A+1 \\ =&\,3(-6)+1 \\ =&\,\boxed{-17}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先使用 (a) 的 k=−17k=-17，并由已知因式 3x+13x+1 得到剩余的二次因式。再对二次方程使用二次公式；判别式为负，因此另外两根是一对共轭复根。

答题过程

展开

With k=−17k=-17,

3x3−17x2+33x+13= (3x+1)(x2−6x+13).\begin{align*} 3x^3-17x^2+33x+13 =&\,(3x+1)(x^2-6x+13). \end{align*}

The other two roots therefore satisfy

x2−6x+13=0.x^2-6x+13=0.

Using the quadratic formula,

x= 6±(−6)2−4(1)(13)2= 6±−162= 6±4i2.\begin{align*} x =&\,\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4(1)(13)}}{2} \\ =&\,\frac{6\pm\sqrt{-16}}{2} \\ =&\,\frac{6\pm4\mathrm{i}}{2}. \end{align*}

Hence the other two roots are

x=3+2i,x=3−2i.\boxed{x=3+2\mathrm{i},\qquad x=3-2\mathrm{i}}.

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受对二次因式配方。把 x2−6x+13x^2-6x+13 写成平方加常数，可以直接读出两条复数根。

答题过程

展开

From

x2−6x+13=0,x^2-6x+13=0,

completing the square gives

(x−3)2+4= 0,(x−3)2= −4,x−3= ±2i.\begin{align*} (x-3)^2+4=&\,0, \\ (x-3)^2=&\,-4, \\ x-3=&\,\pm2\mathrm{i}. \end{align*}

Therefore,

x=3+2i,x=3−2i.\boxed{x=3+2\mathrm{i},\qquad x=3-2\mathrm{i}}.