题目

Problem

3. (a) Use the standard results for $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r^2$ and $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r^3$ to show that for all positive integers $n$

$\sum_{r=1}^{n} r^2(2r + 3) = \frac{n}{2}(n + 1)(n^2 + 3n + 1)$

(4)

(b) Hence calculate the value of $\displaystyle\sum_{r=10}^{25} r^2(2r + 3)$

(2)

题目中文翻译

(a) 利用 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r^2$ 和 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r^3$ 的标准结果证明，对于所有正整数 $n$

$\sum_{r=1}^{n} r^2(2r + 3) = \frac{n}{2}(n + 1)(n^2 + 3n + 1)$

(b) 由此计算 $\displaystyle\sum_{r=10}^{25} r^2(2r + 3)$ 的值。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先展开被求和项，把原式拆成平方和与立方和；代入题目指定的两个标准公式后，逐步提取公因式，直到自然得到目标式。

答题过程

展开

Using

\sum_{r=1}^{n}r^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

and

\sum_{r=1}^{n}r^3 =\frac{n^2(n+1)^2}{4},

we have

\begin{align*} \sum_{r=1}^{n}r^2(2r+3) =&\,2\sum_{r=1}^{n}r^3 \\ &\,\hspace{2pt} +3\sum_{r=1}^{n}r^2 \\ =&\,2\bigg(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\bigg) \\ &\,\hspace{2pt} +3\bigg(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\bigg) \\ =&\,\frac{1}{2}n^2(n+1)^2 \\ &\,\hspace{2pt} +\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1) \\ =&\,\frac{n(n+1)}{2} \bigl(n(n+1)+(2n+1)\bigr) \\ =&\,\frac{n}{2}(n+1)(n^2+3n+1). \end{align*}

Hence,

\boxed{ \sum_{r=1}^{n}r^2(2r+3) =\frac{n}{2}(n+1)(n^2+3n+1) }.

(b)

解法一

思路

展开

令 (a) 的结果为 $S_n=\sum_{r=1}^{n}r^2(2r+3)$ 。由于所求和从 $r=10$ 开始，必须计算 $S_{25}-S_9$ ，而不是减去 $S_{10}$ 。

答题过程

展开

Let

S_n=\frac{n}{2}(n+1)(n^2+3n+1).

Then

\begin{align*} \sum_{r=10}^{25}r^2(2r+3) =&\,S_{25}-S_9 \\ =&\,\frac{25}{2}(26)(701) \\ &\,\hspace{2pt} -\frac{9}{2}(10)(109) \\ =&\,227825-4905 \\ =&\,\boxed{222920}. \end{align*}

IAL 2020 Jan FP1 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程