题目

Problem

(a) Use the standard results for $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r^2$ and $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r^3$ to show that for all positive integers $n$

\begin{align*} &\,\sum_{r=1}^{n}r^2(2r+3)\\ =&\,\frac n2(n+1)\\ &\,\hspace{2pt}\times(n^2+3n+1) \end{align*}

(4)

(b) Hence calculate the value of $\displaystyle\sum_{r=10}^{25} r^2(2r + 3)$

(2)

题目中文翻译

(a) 利用 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r^2$ 和 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r^3$ 的标准结果证明，对于所有正整数 $n$

\begin{align*} &\,\sum_{r=1}^{n}r^2(2r+3)\\ =&\,\frac n2(n+1)\\ &\,\hspace{2pt}\times(n^2+3n+1) \end{align*}

(4)

(b) 由此计算 $\displaystyle\sum_{r=10}^{25} r^2(2r + 3)$ 的值。

(2)

解答

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先展开被求和项，把原式拆成平方和与立方和；代入题目指定的两个标准公式后，逐步提取公因式，直到自然得到目标式。

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The standard formulae are

\sum_{r=1}^{n}r^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

and

\sum_{r=1}^{n}r^3 =\frac{n^2(n+1)^2}{4}.

Let $S_n$ be the sum in part (a). Then

\begin{align*} &\,S_n\\ =&\,2\sum_{r=1}^{n}r^3\\ &\,\hspace{2pt} +3\sum_{r=1}^{n}r^2 \\ =&\,\frac24n^2(n+1)^2 \\ &\,\hspace{2pt} +\frac36n(n+1) \\ &\,\hspace{4pt}\times(2n+1)\\ =&\,\frac{1}{2}n^2(n+1)^2 \\ &\,\hspace{2pt} +\frac12n(n+1) \\ &\,\hspace{4pt}\times(2n+1)\\ =&\,\frac{n(n+1)}{2}\\ &\,\hspace{2pt}\times(n^2+n+2n+1)\\ =&\,\frac n2(n+1)(n^2+3n+1). \end{align*}

Hence,

\begin{align*} &\,\sum_{r=1}^{n}r^2(2r+3)\\ =&\,\frac n2(n+1)(n^2+3n+1). \end{align*}

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继续使用 (a) 的 $S_n$ 。由于所求和从 $r=10$ 开始，必须计算 $S_{25}-S_9$ ，而不是减去 $S_{10}$ 。

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Using $S_n$ from part (a),

\begin{align*} &\,\sum_{r=10}^{25}r^2(2r+3)\\ =&\,S_{25}-S_9\\ =&\,\frac{25}{2}(26)(701) \\ &\,\hspace{2pt} -\frac{9}{2}(10)(109) \\ =&\,227825-4905 \\ =&\,\boxed{222920}. \end{align*}