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IAL 2020 Jan FP1 Q4

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2020 Jan Paper · Question 4

题目

Problem

4. z1=p+5iz_1 = p + 5i, z2=9+8iz_2 = 9 + 8i and z3=z1z2z_3 = \dfrac{z_1}{z_2}

where pp is a real constant.

(a) Determine z3z_3 in the form x+iyx + iy, where xx and yy are in terms of pp

(3)

(b) Determine the exact value of the modulus of z2z_2

(1)

Given that the argument of z1z_1 is π3\dfrac{\pi}{3}

(c) (i) determine the exact value of pp

(ii) determine the exact value of the modulus of z3z_3

(3)
题目中文翻译
  1. z1=p+5iz_1 = p + 5i，z2=9+8iz_2 = 9 + 8i，z3=z1z2z_3 = \dfrac{z_1}{z_2}

其中 pp 是实常数。

(a) 将 z3z_3 表示为 x+iyx + iy 的形式，其中 xx 和 yy 用 pp 表示。

(b) 求 z2z_2 的模的精确值。

已知 z1z_1 的辐角为 π3\dfrac{\pi}{3}

(c) (i) 求 pp 的精确值。

(ii) 求 z3z_3 的模的精确值。

解答

(a)

解法一

思路

展开

分子、分母同乘分母的共轭复数 9−8i9-8\mathrm{i}，使分母化为实数。展开时使用 i2=−1\mathrm{i}^2=-1，最后把实部与虚部分开。

答题过程

展开 (9+8i)(9−8i)= 92+82= 145.\begin{align*} (9+8\mathrm{i})(9-8\mathrm{i}) =&\,9^2+8^2 \\ =&\,145. \end{align*}

Therefore,

z3= p+5i9+8i= (p+5i)(9−8i)145= 9p−8pi+45i−40i2145= 9p+40145+45−8p145i.\begin{align*} z_3 =&\,\frac{p+5\mathrm{i}}{9+8\mathrm{i}} \\ =&\,\frac{(p+5\mathrm{i})(9-8\mathrm{i})} {145} \\ =&\,\frac{9p-8p\mathrm{i} +45\mathrm{i}-40\mathrm{i}^2}{145} \\ =&\,\frac{9p+40}{145} +\frac{45-8p}{145}\mathrm{i}. \end{align*}

Therefore,

z3=9p+40145+45−8p145i.\boxed{ z_3=\frac{9p+40}{145} +\frac{45-8p}{145}\mathrm{i} }.

(b)

解法一

思路

展开

复数 a+bia+b\mathrm{i} 的模为 a2+b2\sqrt{a^2+b^2}，直接代入 z2=9+8iz_2=9+8\mathrm{i}。

答题过程

展开 ∣z2∣= 92+82= 145.\begin{align*} |z_2| =&\,\sqrt{9^2+8^2} \\ =&\,\boxed{\sqrt{145}}. \end{align*}

(c)(i)

解法一

思路

展开

由 arg⁡(z1)=π3\arg(z_1)=\frac{\pi}{3} 可知 z1z_1 在第一象限，因此 p>0p>0。利用直角三角形中的正切关系，把虚部与实部之比设为 tan⁡π3\tan\frac{\pi}{3}。

答题过程

展开

Since arg⁡(z1)=π3\arg(z_1)=\dfrac{\pi}{3},

tan⁡(π3)=5p.\tan\bigg(\frac{\pi}{3}\bigg)=\frac{5}{p}.

Hence

3=5p,\sqrt{3}=\frac{5}{p},

so, with p>0p>0,

p=53=533.\boxed{p=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}}.

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受把 z1z_1 写成模辐角形式。比较虚部即可先求模，再比较实部求出 pp。

答题过程

展开

Let ∣z1∣=R|z_1|=R. Since arg⁡(z1)=π3\arg(z_1)=\dfrac{\pi}{3},

z1=R(cos⁡π3+isin⁡π3).z_1 =R\bigg( \cos\frac{\pi}{3} +\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3} \bigg).

Comparing imaginary parts,

Rsin⁡π3=5,R\sin\frac{\pi}{3}=5,

so

R=103.R=\frac{10}{\sqrt{3}}.

Comparing real parts,

p= Rcos⁡π3= 103⋅12= 533.\begin{align*} p =&\,R\cos\frac{\pi}{3} \\ =&\,\frac{10}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2} \\ =&\,\boxed{\frac{5\sqrt{3}}{3}}. \end{align*}

(c)(ii)

解法一

思路

展开

模具有商法则 ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}。结合 (b) 与 (c)(i) 求出的模，可以最短地得到 ∣z3∣|z_3|。

答题过程

展开

From part (c)(i),

∣z1∣= (53)2+52= 1003= 103.\begin{align*} |z_1| =&\,\sqrt{\bigg(\frac{5}{\sqrt{3}}\bigg)^2+5^2} \\ =&\,\sqrt{\frac{100}{3}} \\ =&\,\frac{10}{\sqrt{3}}. \end{align*}

Therefore, using part (b),

∣z3∣= ∣z1∣∣z2∣= 103145= 10435= 243587.\begin{align*} |z_3| =&\,\frac{|z_1|}{|z_2|} \\ =&\,\frac{10}{\sqrt{3}\sqrt{145}} \\ =&\,\frac{10}{\sqrt{435}} \\ =&\,\boxed{\frac{2\sqrt{435}}{87}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以把 (c)(i) 的 pp 代回 (a)，先求出 z3z_3 的实部和虚部，再用模的定义。这条官方路线同时核对了 (a) 的结果。

答题过程

展开

Substituting p=533p=\dfrac{5\sqrt{3}}{3} into the result from part (a),

z3=8+3329+27−8387i.z_3 =\frac{8+3\sqrt{3}}{29} +\frac{27-8\sqrt{3}}{87}\mathrm{i}.

Hence

∣z3∣2= (8+3329)2 +(27−8387)2= (24+93)2872 +(27−83)2872= 1740872.\begin{align*} |z_3|^2 =&\,\bigg(\frac{8+3\sqrt{3}}{29}\bigg)^2 \\ &\,\hspace{2pt} +\bigg(\frac{27-8\sqrt{3}}{87}\bigg)^2 \\ =&\,\frac{(24+9\sqrt{3})^2}{87^2} \\ &\,\hspace{2pt} +\frac{(27-8\sqrt{3})^2}{87^2} \\ =&\,\frac{1740}{87^2}. \end{align*}

Since a modulus is non-negative,

∣z3∣= 174087= 243587.\begin{align*} |z_3| =&\,\frac{\sqrt{1740}}{87} \\ =&\,\boxed{\frac{2\sqrt{435}}{87}}. \end{align*}