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IAL 2020 Jan FP1 Q6

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2020 Jan Paper · Question 6

题目

Problem

6. A=(231−4)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}

The transformation represented by AA maps the point R(3p−13,p−4)R(3p - 13, p - 4), where pp is a constant, onto the point R′(7,−2)R'(7, -2)

(a) Determine the value of pp

(3)

The point SS has coordinates (0,7)(0, 7)

Given that OO is the origin,

(b) determine the area of triangle ORSORS

(2)

The transformation represented by AA maps the triangle ORSORS onto the triangle OR′S′OR'S'

(c) Hence, using your answer to part (b), determine the area of triangle OR′S′OR'S'

(2)
题目中文翻译
  1. A=(231−4)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}

矩阵 AA 表示的变换将点 R(3p−13,p−4)R(3p - 13, p - 4)（其中 pp 是常数）映射到点 R′(7,−2)R'(7, -2)。

(a) 求 pp 的值。

点 SS 的坐标为 (0,7)(0, 7)。

已知 OO 是原点，

(b) 求三角形 ORSORS 的面积。

矩阵 AA 表示的变换将三角形 ORSORS 映射到三角形 OR′S′OR'S'。

(c) 由此，利用 (b) 的答案，求三角形 OR′S′OR'S' 的面积。

解答

(a)

解法一

思路

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直接用矩阵 AA 乘以点 RR 的位置向量，并令所得向量等于 R′R' 的位置向量。任一分量都能求出 pp，另一分量可用于核对。

答题过程

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The transformation gives

(231−4)(3p−13p−4)=(7−2).\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3p-13 \\ p-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \end{pmatrix}.

Therefore,

2(3p−13)+3(p−4)= 7,9p−38= 7,p= 5.\begin{align*} 2(3p-13)+3(p-4)=&\,7, \\ 9p-38=&\,7, \\ p=&\,5. \end{align*}

The second component also gives

(3p−13)−4(p−4)=−2,(3p-13)-4(p-4)=-2,

which is satisfied by p=5p=5. Hence

p=5.\boxed{p=5}.

解法二

思路

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也可以先用逆矩阵把 R′R' 映回 RR，求出 RR 的坐标，再与题目给出的坐标比较。这是官方评分资料列出的另一条路线。

答题过程

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Since

det⁡A=2(−4)−3(1)=−11,\det A=2(-4)-3(1)=-11, A−1=1−11(−4−3−12).A^{-1} =\frac{1}{-11} \begin{pmatrix} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.

Thus

(xRyR)= A−1(7−2)= 1−11(−22−11)= (21).\begin{align*} \begin{pmatrix} x_R \\ y_R \end{pmatrix} =&\,A^{-1} \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \end{pmatrix} \\ =&\,\frac{1}{-11} \begin{pmatrix} -22 \\ -11 \end{pmatrix} \\ =&\, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{align*}

Hence p−4=1p-4=1, so

p=5.\boxed{p=5}.

(b)

解法一

思路

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由 (a) 先求出 RR。线段 OSOS 在 yy 轴上，可把它作为底；点 RR 到 yy 轴的水平距离就是高。

答题过程

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When p=5p=5,

R=(3(5)−13,5−4)=(2,1).R=(3(5)-13,5-4)=(2,1).

The base OSOS has length 77, and the perpendicular distance from RR to the yy-axis is 22. Therefore,

Area of △ORS= 12×7×2= 7.\begin{align*} \text{Area of }\triangle ORS =&\,\frac{1}{2}\times7\times2 \\ =&\,\boxed{7}. \end{align*}

解法二

思路

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也可以将 O(0,0)O(0,0)、R(2,1)R(2,1)、S(0,7)S(0,7) 代入坐标面积公式，直接由三个顶点求面积。

答题过程

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Using the coordinate area formula,

Area of △ORS= 12∣2017∣= 12∣14∣= 7.\begin{align*} \text{Area of }\triangle ORS =&\,\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 7 \end{matrix} \right| \\ =&\,\frac{1}{2}|14| \\ =&\,\boxed{7}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

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矩阵变换把所有面积放大为原来的 ∣det⁡A∣|\det A| 倍。题目要求 “Hence”，因此直接把 (b) 的面积乘以这个面积比例因子。

答题过程

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The area scale factor of the transformation is

∣det⁡A∣=∣2(−4)−3(1)∣=∣−11∣=11.|\det A| =|2(-4)-3(1)| =|-11| =11.

Using the area found in part (b),

Area of △OR′S′= 11×Area of △ORS= 11×7= 77.\begin{align*} \text{Area of }\triangle OR'S' =&\,11\times\text{Area of }\triangle ORS \\ =&\,11\times7 \\ =&\,\boxed{77}. \end{align*}