题目

Problem

A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}

The transformation represented by $A$ maps the point $R(3p - 13, p - 4)$ , where $p$ is a constant, onto the point $R'(7, -2)$

(a) Determine the value of $p$

(3)

The point $S$ has coordinates $(0, 7)$

Given that $O$ is the origin,

(b) determine the area of triangle $ORS$

(2)

The transformation represented by $A$ maps the triangle $ORS$ onto the triangle $OR'S'$

(2)

题目中文翻译

A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}

矩阵 $A$ 表示的变换将点 $R(3p - 13, p - 4)$ （其中 $p$ 是常数）映射到点 $R'(7, -2)$ 。

(a) 求 $p$ 的值。

(3)

点 $S$ 的坐标为 $(0, 7)$ 。

已知 $O$ 是原点，

(b) 求三角形 $ORS$ 的面积。

(2)

矩阵 $A$ 表示的变换将三角形 $ORS$ 映射到三角形 $OR'S'$ 。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

直接用矩阵 $A$ 乘以点 $R$ 的位置向量，并令所得向量等于 $R'$ 的位置向量。任一分量都能求出 $p$ ，另一分量可用于核对。

答题过程

展开

The transformation gives

\begin{align*} &\,A\begin{pmatrix}3p-13\\p-4\end{pmatrix}\\ =&\,\begin{pmatrix}7\\-2\end{pmatrix}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} 2(3p-13)+3(p-4)=&\,7, \\ 9p-38=&\,7, \\ p=&\,5. \end{align*}

The second component also gives

\begin{align*} &\,(3p-13)-4(p-4)\\ =&\,-2, \end{align*}

which is satisfied by $p=5$ . Hence

\boxed{p=5}.

解法二

思路

展开

也可以先用逆矩阵把 $R'$ 映回 $R$ ，求出 $R$ 的坐标，再与题目给出的坐标比较。

答题过程

展开

Since

\begin{align*} \det A=&\,2(-4)-3(1)\\ =&\,-11, \end{align*}

A^{-1} =\frac{1}{-11} \begin{pmatrix} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.

Thus

\begin{align*} \begin{pmatrix} x_R \\ y_R \end{pmatrix} =&\,A^{-1} \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \end{pmatrix} \\ =&\,\frac{1}{-11} \begin{pmatrix} -22 \\ -11 \end{pmatrix} \\ =&\, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{align*}

Hence $p-4=1$ , so

\boxed{p=5}.

解法三

思路

展开

先把 $R$ 的坐标设为两个未知数，用矩阵变换建立联立方程。求出 $R$ 后，再与题目中含 $p$ 的坐标比较。

答题过程

展开

Let $R=(u,v)$ . Since $A$ maps $R$ to $(7,-2)$ ,

\begin{align*} 2u+3v=&\,7,\\ u-4v=&\,-2. \end{align*}

The second equation gives $u=4v-2$ . Substitution into the first gives

\begin{align*} 2(4v-2)+3v=&\,7,\\ 11v=&\,11,\\ v=&\,1. \end{align*}

Thus $u=2$ and $R=(2,1)$ . Comparing with $R=(3p-13,p-4)$ ,

p-4=1,

\boxed{p=5}.

(b)

解法一

思路

展开

由 (a) 先求出 $R$ 。线段 $OS$ 在 $y$ 轴上，可把它作为底；点 $R$ 到 $y$ 轴的水平距离就是高。

答题过程

展开

When $p=5$ ,

\begin{align*} R=&\,(3(5)-13,5-4)\\ =&\,(2,1). \end{align*}

The base $OS$ has length $7$ , and the perpendicular distance from $R$ to the $y$ -axis is $2$ . Let $\mathcal A$ denote the area of $ORS$ . Therefore,

\begin{align*} \mathcal A =&\,\frac{1}{2}\times7\times2 \\ =&\,\boxed{7}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以将 $O(0,0)$ 、 $R(2,1)$ 、 $S(0,7)$ 代入坐标面积公式，直接由三个顶点求面积。

答题过程

展开

Let $\mathcal A$ denote the area of $ORS$ . Using the coordinate area formula,

\begin{align*} \mathcal A =&\,\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 7 \end{matrix} \right| \\ =&\,\frac{1}{2}|14| \\ =&\,\boxed{7}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

矩阵变换把所有面积放大为原来的 $|\det A|$ 倍。题目要求 “Hence”，因此直接把 (b) 的面积乘以这个面积比例因子。

答题过程

展开

The area scale factor of the transformation is

\begin{align*} |\det A|=&\,|2(-4)-3(1)|\\ =&\,|-11|=11. \end{align*}

Let $\mathcal A'$ denote the area of $OR'S'$ . Using $\mathcal A=7$ from part (b),

\begin{align*} \mathcal A' =&\,11\times\mathcal A \\ =&\,11\times7 \\ =&\,\boxed{77}. \end{align*}

FP1 2020 Jan Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

解法三

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程