7. 方程 $3x^2 + px - 5 = 0$，其中 $p$ 是常数，有根 $\alpha$ 和 $\beta$。

(a) 求下列各式的值

(i) $\alpha\beta$

(ii) $\left(\alpha + \dfrac{1}{\beta}\right)\left(\beta + \dfrac{1}{\alpha}\right)$

(b) 用 $p$ 表示下列各式

(i) $\alpha + \beta$

(ii) $\left(\alpha + \dfrac{1}{\beta}\right) + \left(\beta + \dfrac{1}{\alpha}\right)$

已知

$\left(\alpha + \dfrac{1}{\beta}\right) + \left(\beta + \dfrac{1}{\alpha}\right) = 2\left(\alpha + \dfrac{1}{\beta}\right)\left(\beta + \dfrac{1}{\alpha}\right)$

(c) 求 $p$ 的值。

(d) 利用 (c) 中求得的 $p$ 值，求一个整系数二次方程，使其根为 $\left(\alpha + \dfrac{1}{\beta}\right)$ 和 $\left(\beta + \dfrac{1}{\alpha}\right)$。

利用韦达定理，二次方程两根之积等于常数项除以二次项系数。

By Vieta’s formula,

展开乘积后，所有项都可以只用 $\alpha\beta$ 表示，再代入 (a)(i) 的结果。

Using $\alpha\beta=-\dfrac{5}{3}$,

先把两个因式分别通分，使整个乘积直接化成只含 $\alpha\beta$ 的分式。这是官方评分资料给出的另一种整理。

再次使用韦达定理，两根之和等于一次项系数的相反数除以二次项系数。

By Vieta’s formula,

把两个倒数相加并用 $\alpha+\beta$ 与 $\alpha\beta$ 表示，然后代入前面所得结果。

题设等式的左边正是 (b)(ii) 求出的和，右边则是 (a)(ii) 求出的积的两倍，直接代入即可求出 $p$。

Using the results from parts (a)(ii) and (b)(ii),

Hence

设所求两根为 $u,v$。把 $p=4$ 代入 (b)(ii) 得到 $u+v$，并由 (a)(ii) 得到 $uv$，再写出首一二次方程 $x^2-(u+v)x+uv=0$，最后清除分母。

Let

When $p=4$,

Therefore, the required quadratic equation is

Multiplying by $15$ gives