题目
Problem
7.
The equation 3x2+px−5=0, where p is a constant, has roots α and β.
(a) Determine the value of
(i) αβ
(ii)
(α+β1)(β+α1)
(3)
(b) Obtain an expression, in terms of p, for
(i) α+β
(ii)
(α+β1)+(β+α1)
(3)
Given that
=(α+β1)+(β+α1)2(α+β1)×(β+α1)
(c) determine the value of p.
(1)
(d) Using the value of p found in part (c), obtain a quadratic equation, with integer coefficients, that has roots (α+β1) and (β+α1)
(2)
题目中文翻译
7.
方程 3x2+px−5=0，其中 p 是常数，有根 α 和 β。
(a) 求下列各式的值
(i) αβ
(ii)
(α+β1)(β+α1)
(3)
(b) 用 p 表示下列各式
(i) α+β
(ii)
(α+β1)+(β+α1)
(3)
已知
=(α+β1)+(β+α1)2(α+β1)×(β+α1)
(c) 求 p 的值。
(1)
(d) 利用 (c) 中求得的 p 值，求一个整系数二次方程，使其根为 (α+β1) 和 (β+α1)。
(2)
解答
(a)(i)
解法一
思路
展开
利用韦达定理，二次方程两根之积等于常数项除以二次项系数。
答题过程
展开
By Vieta’s formula,
αβ=−35.
(a)(ii)
解法一
思路
展开
展开乘积后，所有项都可以只用 αβ 表示，再代入 (a)(i) 的结果。
答题过程
展开
Using αβ=−35,
===(α+β1)(β+α1)αβ+1+1+αβ1−35+2−53−154.
解法二
思路
展开
先把两个因式分别通分，使整个乘积直接化成只含 αβ 的分式。
答题过程
展开
====(α+β1)(β+α1)βαβ+1⋅ααβ+1αβ(αβ+1)2−35(−35+1)2−154.
(b)(i)
解法一
思路
展开
再次使用韦达定理，两根之和等于一次项系数的相反数除以二次项系数。
答题过程
展开
By Vieta’s formula,
α+β=−3p.
(b)(ii)
解法一
思路
展开
把两个倒数相加并用 α+β 与 αβ 表示，然后代入前面所得结果。
答题过程
展开
====(α+β1)+(β+α1)α+β+αβα+β−3p+−35−3p−3p+5p−152p.
也可以先通分，再提取公因子：
====(α+β1)+(β+α1)βαβ+1+ααβ+1αβ(αβ+1)(α+β)−35(−35+1)(−3p)−152p.
(c)
解法一
思路
展开
题设等式的左边正是 (b)(ii) 求出的和，右边则是 (a)(ii) 求出的积的两倍，直接代入即可求出 p。
答题过程
展开
Using the results from parts (a)(ii) and (b)(ii),
−152p=2(−154).
Hence
p=4.
(d)
解法一
思路
展开
设所求两根为 u,v。把 p=4 代入 (b)(ii) 得到 u+v，并由 (a)(ii) 得到 uv，再写出首一二次方程
x2−(u+v)x+uv=0,
最后清除分母。
答题过程
展开
Let
u=v=α+β1,β+α1.
When p=4,
u+v=uv=−152p=−158,−154.
Therefore, the required quadratic equation is
x2−(u+v)x+uv=x2+158x−154=00.
Multiplying by 15 gives
15x2+8x−4=0.
