题目

Problem

8. A rectangular hyperbola, $H$ , has Cartesian equation $xy = 16$

The point $P\left(4t, \dfrac{4}{t}\right)$ , $t \neq 0$ , lies on $H$ .

(a) Use calculus to show that an equation of the normal to $H$ at $P$ is

$ty - t^3x = 4 - 4t^4$

(5)

The point $A$ on $H$ has parameter $t = 2$

The normal to $H$ at $A$ meets $H$ again at the point $B$ .

(b) Determine the exact value of the length of $AB$ .

(6)

The tangent to $H$ at $A$ meets the $y$ -axis at the point $C$ .

(3)

题目中文翻译

等轴双曲线 $H$ 的直角坐标方程为 $xy = 16$

点 $P\left(4t, \dfrac{4}{t}\right)$ ， $t \neq 0$ ，在 $H$ 上。

(a) 利用微积分证明 $H$ 在 $P$ 处的法线方程为

$ty - t^3x = 4 - 4t^4$

$H$ 上的点 $A$ 的参数为 $t = 2$

$H$ 在 $A$ 处的法线再次与 $H$ 相交于点 $B$ 。

(b) 求 $AB$ 的长度的精确值。

$H$ 在 $A$ 处的切线与 $y$ 轴相交于点 $C$ 。

解答

(a)

解法一

思路

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先把双曲线写成 $y=16x^{-1}$ 并求导。将点 $P$ 的横坐标 $x=4t$ 代入导数，求出切线斜率，再利用法线斜率是其负倒数写出点斜式方程。

答题过程

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Since

y=\frac{16}{x}=16x^{-1},

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-16x^{-2} =-\frac{16}{x^2}.

At $P$ , where $x=4t$ , the gradient of the tangent is

-\frac{16}{(4t)^2}=-\frac{1}{t^2}.

Therefore, the gradient of the normal is $t^2$ . Using the point $P\left(4t,\dfrac{4}{t}\right)$ , its equation is

y-\frac{4}{t}=t^2(x-4t).

Multiplying by $t$ and rearranging,

\begin{align*} ty-4=&\,t^3x-4t^4 \\ ty-t^3x=&\,\boxed{4-4t^4}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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先由 $t=2$ 求出 $A$ ，并将其代入 (a) 的法线方程。把法线与双曲线联立，其中一个交点已知是 $A$ ，另一个就是 $B$ ；得到两点坐标后使用距离公式。

答题过程

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For $t=2$ ,

A=(8,2).

From part (a), the normal at $A$ is

2y-8x=4-4(2^4),

y=4x-30.

At an intersection with $H$ ,

x(4x-30)=16,

and hence

\begin{align*} 2x^2-15x-8=&\,0 \\ (x-8)(2x+1)=&\,0. \end{align*}

The root $x=8$ corresponds to $A$ , so at $B$ ,

x=-\frac{1}{2}, \qquad y=\frac{16}{x}=-32.

Thus $B=\left(-\dfrac{1}{2},-32\right)$ , and

\begin{align*} AB =&\,\sqrt{\left(8+\frac{1}{2}\right)^2+(2+32)^2} \\ =&\,\sqrt{\left(\frac{17}{2}\right)^2+34^2} \\ =&\,\sqrt{\frac{4913}{4}} \\ =&\,\boxed{\frac{17\sqrt{17}}{2}}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

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先求切线在 $y$ 轴上的截距，从而得到 $C$ 。由于切线与法线在 $A$ 处垂直，三角形 $ABC$ 是以 $AB$ 、 $AC$ 为直角边的直角三角形，可直接用两边长度求面积。

答题过程

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The gradient of the tangent at $A$ is $-\dfrac{1}{4}$ , so its equation is

y-2=-\frac{1}{4}(x-8).

At the $y$ -axis, $x=0$ , giving $y=4$ . Therefore,

C=(0,4).

Also,

AC=\sqrt{(8-0)^2+(2-4)^2} =\sqrt{68}=2\sqrt{17}.

Since the tangent and normal at $A$ are perpendicular,

\begin{align*} \text{Area of }\triangle ABC =&\,\frac{1}{2}(AB)(AC) \\ =&\,\frac{1}{2} \left(\frac{17\sqrt{17}}{2}\right) (2\sqrt{17}) \\ =&\,\boxed{\frac{289}{2}}. \end{align*}

解法二

思路

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已知三个顶点坐标后，也可以直接使用坐标面积公式。这个方法不依赖切线与法线垂直的几何观察。

答题过程

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Using

A=(8,2), \qquad B=\left(-\frac{1}{2},-32\right), \qquad C=(0,4),

the coordinate area formula gives

\begin{align*} \text{Area of }\triangle ABC =&\,\frac{1}{2} \left| 8(-32-4) +\left(-\frac{1}{2}\right)(4-2) +0(2+32) \right| \\ =&\,\frac{1}{2}|-289| \\ =&\,\boxed{\frac{289}{2}}. \end{align*}

IAL 2020 Jan FP1 Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程