3. $f(z) = z^4 + az^3 + bz^2 + cz + d$

其中 $a$、$b$、$c$ 和 $d$ 是整数。

复数 $3 + i$ 和 $-1 - 2i$ 是方程 $f(z) = 0$ 的根。

(a) 写出该方程的其他根。

(b) 在同一幅 Argand 图上画出方程 $f(z) = 0$ 的所有根。

(c) 求 $a$、$b$、$c$ 和 $d$ 的值。

多项式的系数都是实数，因此每个非实复根的共轭复数也必定是根。

Since $f(z)$ has real coefficients, non-real roots occur in conjugate pairs. Therefore, the other roots are

在 Argand 图上，复数 $x+y\mathrm{i}$ 对应点 $(x,y)$。因此标出 $(3,1)$、$(3,-1)$、$(-1,2)$、$(-1,-2)$；两对点均关于实轴对称。

The four roots are represented by the points

and

on the Argand diagram.

先把每对共轭复根组成一个实系数二次因式，再将两个二次因式相乘。展开所得四次多项式后，与题目给出的系数逐项比较。

The conjugate pair $3\pm\mathrm{i}$ gives the factor

Similarly, the pair $-1\pm2\mathrm{i}$ gives

Therefore,

Hence

使用韦达定理。将两对共轭根分别看成一组，先求每组的和与积；这样二阶、三阶对称和都可由两组的和与积快速得到，不必列出所有组合逐项计算。

Let the roots be $r_1,r_2,r_3,r_4$, where

and

Then

and

The sum of all four roots is

so $a=-4$.

The sum of the six products of two distinct roots is

so $b=3$.

The sum of the four products of three distinct roots is

so $c=-10$.

Finally,

so $d=50$. Therefore,