题目

Problem

4. (a) Use the standard results for $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r^2$ and $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r$ to show that

$\sum_{r=1}^{n} (2r - 1)^2 = \frac{1}{3}n(4n^2 - 1)$

for all positive integers $n$ .

(5)

(b) Hence find the exact value of the sum of the squares of the odd numbers between $200$ and $500$

(4)

题目中文翻译

(a) 利用 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r^2$ 和 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r$ 的标准结果证明

$\sum_{r=1}^{n} (2r - 1)^2 = \frac{1}{3}n(4n^2 - 1)$

对所有正整数 $n$ 成立。

(b) 由此求 $200$ 到 $500$ 之间所有奇数的平方和的精确值。

解答

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先展开 $(2r-1)^2$ ，再分别使用平方和、等差数列求和公式以及常数项求和。最后提取 $\frac13n$ 并化简括号内的式子，自然得到题目要求的结果。

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First,

(2r-1)^2=4r^2-4r+1.

Using the standard results,

\begin{align*} \sum_{r=1}^{n}(2r-1)^2 =&\,4\sum_{r=1}^{n}r^2 -4\sum_{r=1}^{n}r+n \\ =&\,\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1) \\ -&\,\hspace{2pt}2n(n+1)+n \\ =&\,\frac{1}{3}n \big[2(n+1)(2n+1) \\ &\,\hspace{2pt}-6(n+1)+3\big] \\ =&\,\frac{1}{3}n(4n^2-1). \end{align*}

Hence, for every positive integer $n$ ,

\boxed{ \sum_{r=1}^{n}(2r-1)^2 =\frac{1}{3}n(4n^2-1) }.

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承接 (a)，把奇数写成 $2r-1$ 。区间内最小和最大的奇数分别是 $201$ 、 $499$ ，对应 $r=101$ 、 $250$ ；因此所求和是前 $250$ 个奇数平方和减去前 $100$ 个奇数平方和。

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The first and last odd numbers between $200$ and $500$ are $201$ and $499$ . Since

2r-1=201\quad\Rightarrow\quad r=101

and

2r-1=499\quad\Rightarrow\quad r=250,

the required sum is

\begin{align*} \sum_{r=101}^{250}(2r-1)^2 =&\,\frac{1}{3}(250) \big[4(250)^2-1\big] \\ -&\,\hspace{2pt}\frac{1}{3}(100) \big[4(100)^2-1\big] \\ =&\,20\,833\,250-1\,333\,300 \\ =&\,\boxed{19\,499\,950}. \end{align*}