6. (i) $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

(a) 完全描述矩阵 $A$ 所表示的单个变换。

矩阵 $B$ 表示绕原点顺时针旋转 $45°$。

(b) 写出矩阵 $B$，矩阵的每个元素用精确形式表示。

先进行矩阵 $A$ 表示的变换，再进行矩阵 $B$ 表示的变换，所得复合变换由矩阵 $C$ 表示。

(c) 求 $C$。

(ii) 梯形 $T$ 的顶点为 $(-2, 0)$、$(-2, k)$、$(5, 8)$ 和 $(5, 0)$，其中 $k$ 是正常数。梯形 $T$ 在矩阵

$\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$

表示的变换下变成梯形 $T'$。

已知梯形 $T'$ 的面积为 $510$ 平方单位，求 $k$ 的精确值。

矩阵 $A$ 保持 $x$ 坐标不变，并把 $y$ 坐标乘以 $3$，因此它表示平行于 $y$ 轴的拉伸。

The matrix $A$ represents a stretch parallel to the $y$-axis with scale factor $3$.

顺时针旋转 $45°$ 等价于逆时针旋转 $-45°$，将该角代入标准旋转矩阵。

The matrix representing a clockwise rotation through $45°$ about the origin is

变换顺序是先 $A$ 后 $B$，所以复合矩阵是 $BA$，不能写成 $AB$。

Since the transformation represented by $A$ is followed by the transformation represented by $B$,

Right-multiplication by $A$ leaves the first column of $B$ unchanged and multiplies its second column by $3$. Hence

先用梯形面积公式求 $T$ 的面积。矩阵变换的面积比例因子是行列式的绝对值，因此用 $T$ 的面积乘以该比例因子，并令结果等于 $510$。

The parallel sides of $T$ have lengths $k$ and $8$, and the perpendicular distance between them is

Therefore,

The determinant of the transformation matrix is

Hence the area scale factor is $17$. Since the area of $T'$ is $510$,

Thus

so

把梯形 $T$ 的四个顶点分别乘以变换矩阵，得到 $T'$ 的四个顶点。保持原顶点的环绕顺序，使用鞋带公式表示 $T'$ 的面积，再令其等于 $510$。

Let the transformed vertices, in the given order, be $V_1$, $V_2$, $V_3$ and $V_4$. Then

For the downward products in the shoelace formula,

For the upward products,

Therefore, using the shoelace formula and $k>0$,

Therefore,

which gives