1.

$x>0$

(a) 证明方程 $f(x) = 0$ 在区间 $[1.4, 1.5]$ 内有一个根 $\alpha$。

(b) 求 $f'(x)$。

(c) 取 $x_0 = 1.4$ 作为 $\alpha$ 的第一个近似值，对 $f(x)$ 应用一次 Newton-Raphson 法，计算 $\alpha$ 的第二个近似值，答案保留 3 位小数。

分别计算区间两个端点的函数值。函数在 $x>0$ 上连续，并且两个函数值异号，因此由介值定理可知区间内存在一个根。

and

Since $f$ is continuous for $x>0$ and there is a change of sign, the equation $f(x)=0$ has a root $\alpha$ in the interval $[1.4,1.5]$.

先把原函数化成幂函数之和，再逐项求导。注意原式的减号作用于整个分式。

First, rewriting $f(x)$ gives

Therefore,

保留原分式，用商法则求导。先分别求分子与分母的导数，再展开并合并商法则的分子。最后注意原函数中分式前的减号。

Let

For $x>0$,

Let $g(x)=\frac{u}{v}$. By the quotient rule,

The numerator simplifies to

Hence

Since $f(x)=x^3-\frac{u}{v}$, it follows that

使用 Newton–Raphson 公式 $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，将 $x_0=1.4$ 及对应的函数值、导函数值代入一次。

Using

with $x_0=1.4$, we have

and

Hence