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FP1 2020 Oct Q2

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2020 Oct Paper · Question 2

题目

Problem

2. The quadratic equation

5x2−2x+3=05x^2 - 2x + 3 = 0

has roots α\alpha and β\beta.

Without solving the equation,

(a) write down the value of (α+β)(\alpha + \beta) and the value of αβ\alpha\beta

(1)

(b) determine, giving each answer as a simplified fraction, the value of

(i) α2+β2\alpha^2 + \beta^2

(ii) α3+β3\alpha^3 + \beta^3

(4)

(c) determine a quadratic equation that has roots

 (α+β2) and (β+α2)\begin{align*} &\,(\alpha+\beta^2) \\ &\,\text{and }(\beta+\alpha^2) \end{align*}

giving your answer in the form px2+qx+r=0px^2 + qx + r = 0 where pp, qq and rr are integers.

(4)
题目中文翻译

2. 二次方程

5x2−2x+3=05x^2 - 2x + 3 = 0

的根为 α\alpha 和 β\beta。

不解方程，

(a) 写出 (α+β)(\alpha + \beta) 和 αβ\alpha\beta 的值。

(1)

(b) 求下列各式的值（答案用最简分数表示）：

(i) α2+β2\alpha^2 + \beta^2

(ii) α3+β3\alpha^3 + \beta^3

(4)

(c) 求一个二次方程，使其根为

 (α+β2) 和 (β+α2)\begin{align*} &\,(\alpha+\beta^2) \\ &\,\text{和 }(\beta+\alpha^2) \end{align*}

答案写成 px2+qx+r=0px^2 + qx + r = 0 的形式，其中 pp、qq 和 rr 是整数。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

直接使用二次方程的根与系数关系，求出两根之和与两根之积。

答题过程

展开

For the equation 5x2−2x+3=05x^2-2x+3=0,

α+β=25\boxed{\alpha+\beta=\frac{2}{5}}

and

αβ=35.\boxed{\alpha\beta=\frac{3}{5}}.

(b)(i)

解法一

思路

展开

用两根和的平方减去两倍根积，得到平方和，再代入 (a) 的结果。

答题过程

展开 α2+β2= (α+β)2−2αβ= (25)2−2(35)= −2625.\begin{align*} \alpha^2+\beta^2 =&\,(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \\ =&\,\big(\frac{2}{5}\big)^2 -2\big(\frac{3}{5}\big) \\ =&\,\boxed{-\frac{26}{25}}. \end{align*}

(b)(ii)

解法一

思路

展开

使用立方和恒等式，把 α3+β3\alpha^3+\beta^3 写成只含 α+β\alpha+\beta 与 αβ\alpha\beta 的式子。

答题过程

展开 α3+β3= (α+β)3− 3αβ(α+β)= (25)3−3(35)(25)= −82125.\begin{align*} \alpha^3+\beta^3 =&\,(\alpha+\beta)^3 \\ -&\,3\alpha\beta(\alpha+\beta) \\ =&\,\big(\frac{2}{5}\big)^3 -3\big(\frac{3}{5}\big) \big(\frac{2}{5}\big) \\ =&\,\boxed{-\frac{82}{125}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

先把立方和因式分解，再将二次因式写成平方和减去根积。利用 (a) 与 (b)(i) 的结果即可，不必求出原方程的根。

答题过程

展开

Using the sum-of-cubes identity,

 α3+β3= (α+β) ×(α2−αβ+β2)= (α+β) ×[(α2+β2)−αβ].\begin{align*} &\,\alpha^3+\beta^3 \\ =&\,(\alpha+\beta) \\ &\,\hspace{2pt}\times(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2) \\ =&\,(\alpha+\beta) \\ &\,\hspace{2pt}\times\big[(\alpha^2+\beta^2)-\alpha\beta\big]. \end{align*}

From parts (a) and (b)(i),

 α3+β3= 25(−2625−35)= 25(−4125)= −82125.\begin{align*} &\,\alpha^3+\beta^3 \\ =&\,\frac{2}{5}\bigg(-\frac{26}{25}-\frac{3}{5}\bigg) \\ =&\,\frac{2}{5}\bigg(-\frac{41}{25}\bigg) \\ =&\,\boxed{-\frac{82}{125}}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

把两个新根记为 uu、vv，并分别利用前面各小题的结果求 u+vu+v 与 uvuv。再由新根和与新根积构造首一二次方程，最后清除分母，使所有系数成为整数。

答题过程

展开

Let

u= α+β2,v= β+α2.\begin{align*} u=&\,\alpha+\beta^2, \\ v=&\,\beta+\alpha^2. \end{align*}

Then

u+v= α+β+α2+β2= 25−2625= −1625.\begin{align*} u+v =&\,\alpha+\beta+\alpha^2+\beta^2 \\ =&\,\frac{2}{5}-\frac{26}{25} \\ =&\,-\frac{16}{25}. \end{align*}

Also,

uv= (α+β2)(β+α2)= αβ+α3+β3+α2β2= 35−82125+(35)2= 38125.\begin{align*} uv =&\,(\alpha+\beta^2)(\beta+\alpha^2) \\ =&\,\alpha\beta+\alpha^3+\beta^3 +\alpha^2\beta^2 \\ =&\,\frac{3}{5}-\frac{82}{125} +\big(\frac{3}{5}\big)^2 \\ =&\,\frac{38}{125}. \end{align*}

Therefore, the required equation is

x2+1625x+38125=0.x^2+\frac{16}{25}x+\frac{38}{125}=0.

Multiplying by 125125 gives

125x2+80x+38=0.\boxed{125x^2+80x+38=0}.