题目

Problem

The matrix $\mathbf{M}$ is defined by

$\mathbf{M} = \begin{pmatrix} k + 5 & -2 \\ -3 & k \end{pmatrix}$

(a) Determine the values of $k$ for which $\mathbf{M}$ is singular.

(2)

Given that $\mathbf{M}$ is non-singular,

(b) find $\mathbf{M}^{-1}$ in terms of $k$ .

(2)

题目中文翻译

矩阵 $\mathbf{M}$ 定义为 $\mathbf{M} = \begin{pmatrix} k + 5 & -2 \\ -3 & k \end{pmatrix}$

(a) 确定使 $\mathbf{M}$ 为奇异矩阵的 $k$ 值。

已知 $\mathbf{M}$ 为非奇异矩阵，

(b) 用含 $k$ 的式子表示 $\mathbf{M}^{-1}$ 。

解答

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矩阵为奇异矩阵的充要条件是行列式等于零。求出 $\det\mathbf{M}$ ，令其为零并因式分解，即可得到所有符合条件的 $k$ 值。

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For $\mathbf{M}$ to be singular,

\det\mathbf{M}=0.

Therefore,

\begin{align*} k(k+5)-(-2)(-3)=&\,0,\\ k^2+5k-6=&\,0,\\ (k-1)(k+6)=&\,0. \end{align*}

Hence,

\boxed{k=1\quad\text{or}\quad k=-6}.

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使用二阶矩阵的逆矩阵公式：交换主对角线元素，并改变副对角线元素的符号，再除以行列式。由于已知矩阵非奇异，所得分母不为零。

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Since $\mathbf{M}$ is non-singular,

k^2+5k-6\ne0.

Using the inverse formula for a $2\times2$ matrix,

\begin{align*} \mathbf{M}^{-1} =&\,\frac{1}{k^2+5k-6}\\ &\,\hspace{2pt}\times \begin{pmatrix} k&2\\ 3&k+5 \end{pmatrix}. \end{align*}